187(1)

+ Q(x,y)dy jest różniczką zupełną, to całka krzywoliniowa J Pdx+Qdy

AB

me zależy od drogi całkowania łączącej punkty A i B, a całka wzięta po dowolnej krzywej zamkniętej, leżącej w obszarze D.jest równa zeru.

Wyrażenie P(x,y)dx+Q(x, y)dy jest różniczką zupełną funkcji u(x, y), w pewnym jednospójnym obszarze D, jeżeli P'_y = Q'_x i jeżeli funkcje P, Q> Py» Qx Są ciągłe w tym obszarze.

872. Obliczyć całkę krzywoliniową /= /(xy-l)dx+x£ydy po następujących liniach, łączących punkt A( 1, 0) i punkt B(0, 2): 1) po prostej 2x+ "P y ~ 2, 2) po łuku paraboli 4xj-y¹ = 4, 3) po łuku elipsy x = cost, y = 2sint (rys. 191).

Rozwiązanie: 1) Biorąc pod uwagę dane równanie linii, po której całkujemy, przekształcamy całkę krzywoliniowy na zwykłą całkę oznaczoną o zmiennej całkowania x i obliczamy tę całkę. Mamy y = 2—2x, dy = = —2dx oraz

^XB

/, = J [* (2—2x)—1]dx-\-x¹(2—2x) (~2dx) =

^XA

0

= / (4x>-6xⁱ+2x-l)dx = [x*~2xⁱ+x¹-x\⁰l = 1

16 ¹ 8 2 2 ^T 2 ¹ y

>A~ O

2

r , /    /    J»³ , 3>’

,*T__ ! • Jo 5

96 ^ 40    8    6 ¹    4

3) Daną całkę przekształcamy na całkę oznaczoną ze zmienną / i obliczamy otrzymaną całkę. Mamy a- = cos/, dx — —sintdt, y = 2sint,cly = — Icostdt, oraz

•B Y

/₃ = I (cos/-2sin/—1)(—sin/rf/)-fcos²/-2sin/-2cos/J/ =

= I (4cos³/sin/-r-sin/—2sin²/cos/)ćń =

l ⁶

•    i-

—4 | cos³/Jcos/+ | sin/cft—2 I sin²/ć/sin/ ² =

Jo

]7I

y 4

= -y

(Wartości parametru / w punktach zł i B wyznaczyliśmy z danych równań parametrycznych elipsy przez podstawienie znanych współrzędnych obu punktów).

873. Obliczyć całkę krzywoliniową I = J (4| x—3 | y)dl wziętą od pun-

L

ktu £(—1,0) do punktu H(0, 1): 1) po prostej EII, 2) po łuku asteroidy

x = cos³/, y — sin³/.

Rozwiązanie: 1) Najpierw piszemy równanie linii całkowania. Jest to równanie prostej y—x — 1, przechodzącej przez oba punkty.

Posługując się tym równaniem oraz znanym wzorem na różniczkę długości łuku krzywej płaskiej (rozdz. V, § 6) przekształcamy daną całkę krzywoliniową na zwykłą całkę ze zmienną x, którą następnie obliczamy. Mamy y — x^Jr\, y' = 1, dl = ] 1 -J- (y')²dx = j 2 dx, oraz

777

1

W tym przypadku jest wygodnie sprowadzić całkę krzywoliniową do zwykłej całki ze zmienną całkowania y. Mamy x = 1— dx— — ydy, oraz