4292417162

Zauważmy w szczególności, że jeśli istnieje potencjał, to całka krzywoliniowa po krzywej zamkniętej zawsze równa jest zero.

Jeśli natomiast krzywa jest zamknięta i otacza "porządny” obszar D (normalny względem obu osi układu), to niezależnie od tego czy istnieje potencjał, można zamienić ją na zwykłą całkę podwójną,

0    czym mówi nam Twierdzenie Greena.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = JJ~ {Q'_x(x, y) - P_y(x, y)) dxdy (zakładamy, że orientacja krzywej jest taka, że obszar D jest na lewo od krzywej)

Przykład:

Rozważmy całkę f_Lx²ydx - xy²dy, gdzie L jest okrąg x² + y² = 4. Mamy P(x,y) = x²y, więc P'_y = x² oraz Q(x,y) = -xy², czyli Q'_x = -y². Obszar D jest kołem x² + y² < 4 i mamy: f_L x²ydx - xy²dy = Jf_D (-y² - x²) dxdy = ...

1    po przejściu na współrzędne biegunowe :

... = 0    (/_q² r³dr) d<p = -2ir ■ 4 = -8tt

Ćwiczenia

6.1

Oblicz całki krzywoliniowe niezorientowane:

a)    J~ x²yds gdzie L jest częścią okręgu x² + y² = 4 leżącą w drugiej ćwiartce.

b)    J~(x + y)ds gdzie L jest odcinkiem od punktu j4(1,2) do punktu 5(3,6).

^c)    f(x, y) = J{y ~ l)ds gdzie L jest częścią krzywej y = x³ + 1 od punktu (0,1) do punktu (3,28).

6.2

Oblicz całki krzywoliniowe zorientowane:

a)    J e^y~^xdx + e^x+ydy gdzie L jest odcinkiem od punktu (1,2) do punktu (2,1).

b)    y~ x²dx + (x + y)dy gdzie L jest fragmentem krzywej (<², t³) od punktu (0,0) do punktu (1,1).

c)    J xydx + e^xdy gdzie L jest fragmentem krzywej y = x² + 1 od punktu (0,1) do punktu (1,2).

6.3

Oblicz całki krzywoliniowe stosując twierdzenia Greena:

a)    J(x² + 2xy)dx + (x² + e^y)dy gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem elipsy x² + 3y² < 1.

b)    jⁱ(-y³)dx + x³dy gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem koła x² + y² < 4.

c)    xydx+ydy gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach >1(0,0), 5(1,0),

C( U).

14