193(1)

Warunek P'_y = Q'j jest spełniony, dane wyrażenie jest więc różniczką zupełną pewnej funkcji u{x, y). Funkcję tę wyznaczamy ze wzoru (2)

*    y

u — f }’(e^xy+5)dx+ j x₀(e^x°^y+5)dy+C =

=k'+5^k+k^+5.wi;.+c=

— e^y+5xy—e^Xoyo—5x₀y_a + C = e^xy+5xy+C₁ gdzie Ci = C—e^xoyo—5xoyo.

3) Wyznaczamy najpierw pochodne cząstkowe P'_y = — (34-2ycos2.x)y = = —2cos2x, Q'_x = (1—sin2,v)i = — 2cos2x i stwierdzamy, że są one toż-samościowo równe, oraz że dane wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej funkcji u(x_yy). Funkcję tę znajdujemy drugim z podanych sposobów, całkując oddzielnie każdą z różniczek cząstkowych Pdx i Qdy. Mamy:

a)    u — — J (3+2ycos2.v) dx — — 3x—yńn2x-\-<p(y), Qrzy czym przyjmujemy za stałe;

b)    u = / (1 —sin2;c) dy = y-ysin2x^Jrrp(x), przy czym * przyjmujemy za stałe.

Zestawiając oba te wyrażenia oraz dopisując do wiadomych wyrazów pierwszego z nich brakujący i zależny tylko od y wyraz z drugiego wyrażenia, otrzymamy jedną z funkcji pierwotnych, a po dodaniu dowolnej stałej C — ogólną postać funkcji pierwotnej dla danej różniczki zupełnej:

u = y—3x—ysin2x+C.

W zadaniach 900 -905 wy kazać najpierw, że dane wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej funkcji u(x, y), a potem wyznaczyć tę funkcję:

900.    (3x²y+l) dx+(x⁵— 1) dy

901.    cos.^cosyrf..*—sin.y(sinx-|-4cosy)c/j’

902.    [I (-cos(x)’)]6^;dx+ xdy)

903.    (y²e^xy-3)dx+e^xy(l+xy)dy

904.iŻęitŁ    905. k

x^2jry²    (x^Jry)²

§ 11. Całki powierzchniowe i ich obliczanie przez zamianę na całki podwójne

Niech funkcja/(Mj będzie określona i ciągła w każdym punkcie gładkiej¹’ powierzchni <r. Podzielmy tę powierzchnię w dowolny sposób na n piatów częściowych o polach równych As_u As₂,..., As_n i wybierzmy w każdym

') Tak nazywamy powierzchnie, które w każdym swym punkcie mąią określoną płaszczyznę styczną.

z nich po jednym, dowolnym zresztą, punkcie M_x, M_ls..., M_n. Obliczmy wartości funkcji f(M) w tych punktach i utwórzmy sumę

n

f(Mj)As_x+f{M₂)As₂A- ... +f(M_n)As_n = ^f{M_t)As,

(-= i

nazywaną sumą całkową funkcji f(M) względem pola powierzchni a.

Ponieważ w opisanym tu procesie tworzenia sum całkowych powierzchnię o można dzielić na n płatów częściowych w różny sposób i w każdym z nich rozmaicie wybierać po jednym punkcie M_it więc dla każdej danej funkcji f{M) i dla każdej danej powierzchni a można utworzyć nieskończenie wiele różnych sum całkowych. Jeśli jednak dla n rosnącego nieograni-czenie największa ze średnic płatów częściowych zmierza do zera, to wszystkie te sumy całkowe będą miały jedną i tę samą wspólną granicę. Granicę tę nazywamy całką funkcji f(M) po płacie powierzchniowym lub całką względem pola powierzchni a i oznaczamy symbolem

/ ff(M)ds

a

Analogicznie określa się całki powierzchniowe względem współrzędnych (względem rzutów płata)

ffp(M)dxdy, Jf Q(M)dxdz, f (R(M)dydz    (*)

a    ct    a

Całki te są granicami sum całkowych funkcji P(M), Q(M) lub R(M) branymi po powierzchni <r, z tą jednak różnicą, że przy ich tworzeniu wartości funkcji w punktach M\ mnoży się nie przez pola As_t elementarnych piatów częściowych, lecz przez ich rzuty na płaszczyzny xOy, xOz lub yOz układu współrzędnych.

Całka powierzchniowa względem współrzędnych o postaci ogólnej / $ P{M)dxdy+Q(M)dxdz+R(M)dydz

a

jest sumą całek powierzchniowych względem współrzędnych o postaci (*).

'Obliczanie całek powierzchniowych obu typów' sprowadza się do obliczenia całek podwójnych po obszarze płaskim. W tym celu wychodząc z równania danej powierzchni a wyrażenie podcałkowe w całce powierzchniowej przedstawiamy jako funkcję dw'óch zmiennych, przebiegających obszar powstały przez zrzutowanie danej powierzchni a na płaszczyznę układu odpowiadającą tym zmiennym.