1 (12) 3

Przestrzenie euklidesowe

19

1 nazwą nierówności	oraz wprowadzimy normę elementu x:
lanymi, to	|x| = (x, X)'/^2 = ( £ *?)^1/2- i*i . Obecnie zdefiniowana struktura (przestrzeń wektorowa R^k wraz ze zdefiniowanym powy-I żej iloczynem wewnętrznym i normą) jest zwana euklidesową k-przestrzenią.
sumach j przebiega miastowa. Załóżmy	1.37. TWIERDZENIE. Niech x, y, z e R^k i niech « będzie liczbą rzeczywistą. Wtedy a)    |x| > 0; b)    |x| = 0 wtedy i tylko wtedy, kiedy x = 0; c)    |ax| = |a| |x|;
«A+!Cf^2I>/ =	d)    |xy| < lx| lyh e)    |x+y| < |x|+|yt;
mny, więc widzimy,	1) |x z| < |x—y|+|y—z|. Dowód, a), b) i c) są oczywiste, natomiast d) jest natychmiastową konsekwencją nierówności Schwarza. Z d) dostajemy
jest żądaną nierów-	|x+y|^2 = (x+y)(x+y) = x-x+2x-y+yy < |x|^2+2|x| |y|+|y|^2 == (|x|+|y|)^2, co dowodzi nierówności e). Wreszcie I) wynika z e) przez podstawienie x—y w miejsce x oraz y-z w miejsce y.
biorem uporządko-	1.38. UWAGI. Twierdzenie 1.37 umożliwi nam traktowanie R^k jako przestrzeni metrycznej (zobacz rozdz. 2). R^l (zbiór liczb rzeczywistych) jest zazwyczaj nazywana linią prostą. Podobnie R^2 jest nazywana płaszczyzną lub płaszczyzną zespoloną (porównaj definicje 1.24 i 1.36). W obydwu tych przypadkach norma elementu pokrywa się z wartością bezwzględną odpowiadającej liczby rzeczywistej lub zespolonej.
anentu x. Elementy Wektory będziemy zy wistą, to	Dodatek
nie wektorów oraz dniają prawa prze-lo wody są banalne, nienie obu operacji dałem liczb rzeczy-współrzędnych lub cO. zyn skalarny) dwu	Udowodnimy teraz twierdzenie 1.19 konstruując R wychodząc od Q. Konstrukcję tę podzielimy na kilka kroków. Krok 1. Elementami R będą pewne podzbiory Q, zwane przekrojami. Przekrojem nazwiemy podzbiór a <= Q o następujących trzech własnościach. I. a jest niepusty oraz a. # Q. II. Jeżeli pe a oraz q e Q i q < p, to q e o. III. Jeżeli p e ot, to p < r dla pewnego r e ot Litery p, q, r,... będą oznaczały liczby wymierne, natomiast za pomocą a, p, y,... będziemy oznaczali przekroje. Zauważmy, że warunek III mówi po prostu, że a nie zawiera liczby największej; II pociąga dwa warunki, których będziemy kilkakrotnie używać: Jeżeli p e d. ’\ ą $ ot, to p < q. Jeżeli r e a i r < s, to s £ a.

2*