1 (31) 2

Zbiory zwarte

37

względem X wtedy

zbiory zwarte jako iwierającą je prze-i otwartych i dom-i i swoim podzbio-

'} będzie rodziną 0 istnieje zbiór G rarty względem X,

K c Y, więc z (22)

odziną otwartych Wówczas będzie c G«, więc z (22)

knięle.

X. Udowodnimy,

inio otoczeniami raź K jest zwarty, b, że

i W. Stąd Vc K^e,

i a K jest zwarty. ^y, to otrzymamy na podrodzina <p ę, to możemy F^c ny, że skończone

Wniosek. Jeśli F jest domknięty, a K — zwarty, to F nK jest zwarty.

Dowód. Twierdzenia 2.24b) i 2.34 pokazują, że zbiór F nK jest domknięty; ponieważ: W*~K c K, więc z twierdzenia 2.35 wynika, że zbiór F r\K jest zwarty.

236.    Twierdzenie Jeśli {/Cj jest rodziną zwartych podzbiorów przestrzeni metrycznej IJT teką, że iloczyn dowolnej skończonej podrodziny rodziny {K_a} nie jest pusty, to f)K„ jest mmepmsty.

Dowód. Ustalmy zbiór K_t rodziny {Kj i przyjmijmy G_a # K‘. Przypuśćmy, że w K_t nie ■b takiego punktu, który należałby do wszystkich zbiorów K_x. Wtedy zbiory G, tworzą ^pokrycie zbioru K _t i ponieważ zbiór FC _x jest zwarty, znajdziemy skończoną ilość wskaźników L* _, a, takich, że jest spełniony warunek c. ... uG,_; Ale to oznacza, że zbiór

K_inK_tn...r\K_X'

Jest pusty. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem twierdzenia.

WNIOSEK. Jeśli {K„} jest ciągiem niepustych zbiorów zwartych spełniających warunki

00

K. =* KT„₊₁ (n = 1,2, 3,...), to zbiór f) nie jest pusty.

»=i

237.    TWIERDZENIE. Jeśli E jest nieskończonym podzbiorem zbioru zwartego K, to E ma /metki skupienia należący do K.

Dowód. Gdyby żaden punkt zbioru K nie był punktem skupienia zbioru £, wówczas każdy punkt q e K miałby otoczenie V_q zawierające nie więcej niż jeden punkt zbioru E m i a śnie punkt q, jeśli q e £). Oczywiście żadna skończona podrodzina rodziny {V_q) nie może pokryć zbioru £; jest to prawdziwe także dla K, ponieważ £ c K. Przeczy to jednak zwartości zbioru K.

238.    TWIERDZENIE. Jeśli {/„} jest ciągiem odcinków w R¹ takich, że I„ => /„₊₁(n = 1,2,3,...), 00

aorbiór f) I„jest niepusty.

n = 1

Dowód. Jeśli /„ = [a„, b„], to niech £ będzie zbiorem wszystkich a„. Zatem £jest niepusty i ograniczony z góry (przez b,). Niech x = sup £. Jeśli m i n są liczbami naturalnymi, to

^an ^ ^am+n ^ b_{m + B} ^ b_m,

ponieważ x < b_m dla każdego m. Oczywiście a_m < x, a więc x e J_m dla m = 1,2, 3, ...

239.    TWIERDZENIE. Niech k będzie liczbą naturalną. Jeśli {/„} jest ciągiem kostek

CO

k-wymiarowych i I„ => J,₊1 (n = 1,2, 3,...), to zbiór 0 niepusty.

«=i

Dowód. Niech I„ składa się ze wszystkich punktów x = (x_ls..., x_k) takich, że

a_mJ < Xj < b_Hj (1 < j_n < k; n = 1, 2,3,...),

i niech I_nj = [a„j, b_nj}. Dla każdego j ciąg {l_nj} spełnia założenia twierdzenia 2.38. A więc istnieją liczby rzeczywiste xf (1 ^ j < fc) takie, że

a_n} < xj b,j (1 < ) < fc; n = 1, 2, 3,...).