1 (44)

50

3. Ciągi i szeregi liczbowe

Klasa ciągów monofonicznych składa się z ciągów rosnących i malejących.

3.14.    Twierdzenie. Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograni* czony.

Dowód. Przypuśćmy, że s_n $ s_K+l (w drugim przypadku dowód jest analogiczny). Niech. E będzie zbiorem wartości ciągu {s„}. Jeśli ciąg {s„}jest ograniczony, to niech s będzie kresem górnym zbioru E. Wówczas s„ < s (« ** 1,2, ap$f$o

Dla dowolnego e > 0 istnieje liczba całkowita N taka, że S— ę < s_N < s, ponieważ inaczej s—e byłoby kresem górnym zbioru E. Ponieważ ciąg (s„} jest rosnący, więc dla n ^ N zachodzi

Sr-ś < s„ < s,

skąd wynika, że {s_n} jest zbieżny (do s).

Twierdzenie odwrotne wynika z twierdzenia 3.2c).

Granice górna i dolna

3.15.    DEFINICJA. Niech {s„} będzie ciągiem liczb rzeczywistych o następującej własności:! Dla dowolnej liczby rzeczywistej M istnieje liczba całkowita N taka, że n > N implikuje s_# > M. Wówczas piszemy «„-++ oo.

Podobnie Jeśli dla dowolnej liczby rzeczywistej M istnieje liczba całkowita N taka, że dla n > Ń implikuje s, < M, to piszemy

Należy zauważyć, że posłużyliśmy się teraz symbolem -»(wprowadzonym w definicji 3.1) dla pewnych typów ciągów rozbieżnych, tak jak dla ciągów zbieżnych, ale definicje zbieżności i granicy podane w definicji 3.1 nie ulegają zmianie.

3.16.    DEFINICJA. Niech {s„} będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Niech E będzie zbiorem

liczb x (w rozszerzonym systemie liczb rzeczywistych) takich, że s^-*x dla pewnego podciągu {s^}. Zbiór E zawiera wszystkie granice częściowe zdefiniowane w definicji 3.5 i być może liczby + aó, -    '

Przypomnijmy teraz definicje 1.8 i 1.23 i przyjmijmy s^supU, s* = ME)

Liczby nazywamy odpowiednio górną i dolną granicą ciągu posługujemy się oznaczeniami

lim sup s„ * s*,    lim inf s„ = s*.,

n*+ oo    n"*<o '

3.17.    TWIERDZENIE. Niech {sj będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Niech E i s* mają to samo znaczenie, co w definicji 3.16. Wówczas s* ma następujące własności:

a)    s* SS

b) Jeśli -x > s*, to istnieje liczb® całkowita >1? takarże n    N pociąga za sobą x. j , jgf więcej, s* jest jedyną liczbą o własnościach a)'/ b).

Oczywiście analogiczny wynik mamy dla s*.

Dowód. J< •graniczony z;

[ Jeśliś* jest granica częścio I Jeśliś* = — granica częścio ■pełniona tylko To dowodzi Aby udowo* wielu wartości n z definicją s*.

W ten sposó Wceluudow ce a) i b) i załóż! ponieważ p spel

3.18. Przyk ne. Wtedy każda

b) Niech s„ =

c) Dla ciągu

Skończymy

trywialny.

3.19. Twierd.

Wyliczymy ter. następującej uwad s„-»0, to x_m -* 0.