215

Rozdział XXII

CAŁKOWANIE PRZYBLIŻONE

§ 22.1. UWAGI OGÓLNE

Jak wiadomo z rachunku całkowego, nie wszystkie całki funkcji ciągłych dają się wyrazić przy pomocy skończonej liczby funkcji elementarnych. Do takich należą np. całki

x tg xdx,

sinx

-dx

x^J+l dx-

W przypadku gdy musimy obliczyć np. całkę

J xx³ + 1 dx, o

i

jxtg xdx lub

o

musimy korzystać wyłącznie z metod przybliżonych. Również w sytuacji, gdy wprawdzie bezpośrednie obliczenie całki oznaczonej jest możliwe, ale bardzo pracochłonne, często w praktyce do jej obliczenia stosuje się metody przybliżone, które mogą okazać się bardziej wygodne i szybsze.

§ 22.2. METODA TRAPEZÓW

Mamy obliczyć przybliżoną wartość całki funkcji ciągłej /(x) w przedziale a<xśb, tj. całki

(22.1)    \f(x)dx.

a

Przedział całkowania dzielimy na pewną liczbę n przedziałów częściowych, wszyst' kich o tej samej długości (b — a)/n; kolejne odcięte punktów podziału oznaczamy P^rzeZ a — x₀, x,,...,    x„ = 6, odpowiednie zaś rzędne przez

ki =/(•*■/)    (i = 0, 1, ..., n).

Jako przybliżoną wartość całki (22.1), przy założeniu, że /(x)>0 dla a^x^b. przyj' mujcmy w metodzie trapezów sumę pól n trapezów. Łatwe obliczenie prowadzi do

yvzo ru    _b

I*    ba

(22.2)    \f(x)dxx [y₀ + y_n+2 (y, + y₂ +... + y„ _ j)].

b — a

gjąd bezwzględny nie przekracza ^ ₂ M₂, gdzie M₂ jest górnym ograniczeniem wartości

bezwzględnej drugiej pochodnej funkcji f{x) w przedziale całkowania, tzn. taką liczbą, X \f"(x)\ś:M₂ dla aśx^b.

i

Przykład. Obliczyć \e*² dx metodą trapezów przyjmując n = 5 oraz oszacować błąd. o

Rozwiązanie. Mamy tutaj x_o=0, x₂ =0,2, *2=0,4, x₃ = 0,6, jc₄ = 0,8, x_s = 1. Odpowiednie wartości funkcji podcałkowej odczytujemy z tablic wartości funkcji wykładniczej e^x\

e^0,04 a 1,0408,    e°’¹⁶al,1735,    e°^l36al,4333,    t-^0>54« 1,8965.

A więc stosując wzór (22.2) otrzymujemy

i

J e*² dx = 0,l •(! -ł-2,7183 -t-2 • 5,5441) = 1,4807.

Dla oszacowania błędu obliczamy drugą pochodną funkcji f(x)=e^x . Mamy

/'(*) = 2xe*²,    /"(*)=( 2+4x²)e*².

W przedziale całkowania druga pochodna przyjmie największą wartość dla x=l, bo oba czynniki są funkcjami rosnącymi w przedziale całkowania; mamy /"(I) = 6e, a więc możemy przyjąć M₂ = 6e. Tak więc błąd bezwzględny nie przekracza

—— • 6ex 0,0544.

12-25

Ponieważ f"(x)> 0, więc metoda trapezów daje wynik przybliżony z nadmiarem.

§ 22.3. METODA SIMPSONA

Przedział całkowania a^x^b dzielimy przy metodzie Simpsona na parzystą liczbę ^ {n = 1,2,...) równych części.

Rozważmy najpierw przypadek n = 1; mamy obliczyć przybliżoną wartość

$f(x)dx, gdzie /(*)2s0.

x₀

Oznaczmy środek przedziału przez x_lt a odpowiadające wartościom x₀,x_t,x₂ rzędne Przez y₀,yi,y₂- Metoda Simpsona polega na tym, aby funkcję podcałkowąf(x) zastąpić Przez tak dobrany trójmian kwadratowy y=ax² + px+y, aby wartości jego dla Xq, x₂, x₂ tyły równe odpowiednio wartościom funkcji/(x₀) =yo,f(xi)=yi,f (x₂)=y₂. Nietrudny