216

430 XXII. Całkowanie przybliżone

rachunek prowadzi do wzoru

430 XXII. Całkowanie przybliżone

(22.3)

/ (x) dx=—7-—-(y₀ +■*y 1 + y 2) •

6 n

Gdy n = 2,3,..., tzn. gdy dzielimy przedział na 4,6,... równych części, wówczas do każdych dwóch sąsiednich przedziałów stosujemy wzór (22.3). Przy oznaczeniach punktów przedziału przez a = x₀, x_lt x₂,x_2n-i, x_2n = b i odpowiadających im rzęd. nych przez y₀, y,, y₂,..., y_2n-1, y_2n otrzymujemy wzór Simpsona w postaci

b

b-a.

I

(22.4) \f(x)dx;

6 n

-[j'o+J’2n+40'l +^3 +••• +>’2n-l)+2(y₂ + J’4 + --- +3^,2n-2)]

(b-a)⁵

z błędem bezwzględnym nie przekraczającym _{1 oa} ^ . M₄, gdzie M₄ jest górnym ogra-

l80-(2n)

niczeniem wartości bezwzględnej czwartej pochodnej funkcji f{x) w przedziale całkowania, tj. l/^OcjK Af₄ dla a^x^b. Tak więc błąd metody Simpsona jest (w przybliżeniu) odwrotnie proporcjonalny do czwartej potęgi liczby 2n podprzedziałów, na które przedział całkowania został podzielony, dwukrotne więc zwiększenie liczby podprzedziałów powoduje około 16-krotne zmniejszenie błędu.

Jeżeli chcemy obliczyć całkę z daną z góry dokładnością e, tzn. gdy chcemy, aby

(b — a)⁵

180-(2n)

;M₄<e,

to z rozwiązania tej nierówności względem liczby podprzedziałów 2n otrzymamy

2 n^(b-a)

(b-a) M*

180e

tj. najmniejszą ich liczbę, przy której dana dokładność przybliżonej wartości całki będzie osiągnięta.

1

Przykład. Obliczyć J' x tg xdx stosując metodę Simpsona przy 2«=4.

o    .

Rozwiązanie. Punktami podziału są jc_o=0, x, =0,25, x₂=0,5, x₃=0,75, x_A~ⁱ' Dogodnie jest wykonać zestawienie wartości odczytanych z tablic i obliczanych w po* staci tabelki

x radianów	0	0,25	0,5	0,75	1
stopnie	0°	14°19'	28°39'	42°58'	57°18'
tg*	0	0,2552	0,5464	0,9314	1,5578
*tg*	0	0,0638	0,2732	0,6985	1,5578
y	yo	yi	yi	Za	y*

Następnie stosujemy wzór (22.4):

j x tg x dx « £ [0 +1,5578 + 4 (0,0638 + 0,6985) + 2 • 0,2732] = 0

= £(1,5578 + 3,0496 + 0,5464)=^-⁸=0,4295.

§ 22.4. CAŁKOWANIE GRAFICZNE

Dany jest wykres funkcji y=f(x) określonej i ciągłej dla a^x^b. Aby znaleźć kon-

X

strukcyjnie wykres funkcji pierwotnej F(x)=J f(u)du, postępujemy następująco (rys. 22.1):

a

1° Przy pomocy punktów A_t(x,) (/=0, 1,n) dzielimy przedział całkowania <a, by na n równych części. Na każdym częściowym łuku M_tM_t+1, odpowiadającym odcinkowi A_tAt+i, dobieramy taki punkt K_t+1, aby prosta przechodząca przez K_i+l i równoległa do osi Ox, sama oś Ox i dwie proste równoległe do osi Oy, a przechodzące odpowiednio

Przez punkty A_t oraz A_i+,, tworzyły prostokąt, którego pole równa się w przybliżeniu Polu trapezu krzywoliniowego A_tA_t+lM_l+1M_t (na rysunku pola trójkątów krzywoliniowych M₀B₀K, oraz MiB_xK_lt które są równe, są zakreskowane, skąd widać, że pole Prostokąta A_QA₁B_lB₀ równa się polu trapezu krzywoliniowego AoAiM^Mo).

2° Na osi Ox obieramy punkt £(—1,0).

3° Punkty R, przecięć z osią Oy prostych równoległych do osi Ox przeprowadonych Przez punkty K_t łączymy z punktem S. Otrzymujemy odcinki SR_t-

4° Przez punkt A₀ kreślimy prostą równoległą do SRi aż do przecięcia się z przedłużeniem A₁M₁. Otrzymujemy punkt C_t.