487 2

487

Rozdział 6

§ 63

1. Metoda Newtona dla równania f(x)=x² —1=0 prowadzi do wzoru iteracyjnego gdzie h„ =• -/(**)//'(*■) =    1 /*„). Wzór można też napisać w postaci

■*n+ 1    ^l^ą)

(zob. rozdział I lub przykład 6.3.3), skąd wynika, że x& 1 dla każdego r>0. Dla x₀=2 otrzymujemy

n	X*
0	2
1	1.25
2	1.0025
3	1.0003
4	1+4.5-10"*
5	1 + 10-10"^1*

0 75 -0.225 -0.0247 -0.000299955 -4.510-" + I0 łO"'*

Od razu widać, żc zbieżność jest kwadratowa,

2.    1.7963.

3.    Piszemy równanie jako /(*)=*— )+e ^2x=0. Metoda Newtona daje wzory

x_B+1 =x_H+h_n, A,= -/(-’cj//'(xj= -(X*-1 +e"²*")/(l -2e~²*').

Dla przybliżenia początkowego jc_o=0.8 otrzymujemy x_x =0.79682, /z,« —10~³, czyli a=0.7968 z czterema cyframi ułamkowymi.

4.    1.76322.

5.

n	z.	h.
0	1+/	-0.75 - 0.25/
1	0.25 +0.751	— 0.325 + 0.225/
2	-0 075 + 0.975/	0.0767 + 0.0218/
3	0.0017 + 0.9968/	-0.001705 + 0.003204/
4	-0.000005 + 1.000004/

Poprawna wartość: ac=i. Zauważmy, że w tym zadaniu przybliżenie początkowe rzeczywiste nie daje zbieżności.

§ 6.4

1.    (a) Dla *_o=0.373, *. = 0.35 jest x₂ = 0.35174, **=0.351734, .t₄ = 0.351734, a= =0.35173.

(b) Dla x₀ = -0.993* x_x = -0.994 jest x₂=-0.993549, x₃ =-0.993550, cr = -0.99355.

2.    Załóżmy, żc są danc/(x), a i b i że f(a) f(b)<0.

*l:=a: x2;=b; yl:=/(xl); y2:=f(x2'y.