253(1)

(r = O A); wy

Naprężenie na górnej podstawie kolumny wynosi

nika to z warunku zadania. Wobec tego

P+G

nr

albo PĄ-G =

PS

nr

X

P+nó ( fdx = -~y²

Różniczkując tę równość obustronnie, dochodzimy do równania różniczkowego na krzywą AAj

ndy²dx = ydy

Rozwiązując je jako równanie o zmiennych rozdzielonych, znajdujemy

2 P

, _ 2P dy

^dx ndr² y ’ ^X+C ~ ndr²

lny

Z warunku y = r, gdy x = 0, znajdujemy stałą c =    Równa-

nóP

niem szukanej krzywej będzie więc

2 P . y

x = —---rln — nor r

0)

a szukany kształt kolumny równych naprężeń poprzecznych określony jest powierzchnią obrotową", zakreślaną przy obrocie otrzymanej krzywej dokoła osi Ox

2 P, |V+z' *•" W¹" ——

Przy takim kształcie kolumny naprężenie w każdym jej punkcie będzie jednakowe.

Dla filaru mostu, o którym jest mowa w dalszym ciągu zadania, promień górnej podstawy otrzymamy z równania

90000

-2— = 3000;    r x 3,09 dcm

nr

0 Równanie powierzchni obrotowej, powstałej przez obrót dookoła osi Ox. linii /(•v, >) = 0, leżącej na płaszczyźnie xOy, ma postać/(.v, ± ]/>^J i r²) == 0.

a promień dolnej podstawy obliczymy podstawiając dane w zadaniu wartości do równości (1)

120 «

2 • 90 000    _r,

n • 2,5 • 3,09^{2 n} 3,09 ’

r, « 3,24 (m)

1164. Znaleźć zależność prędkości spadania ciała w powietrzu od czasu, jeśli wiadomo, że opór powietrza jest wprost proporcjonalny do kwadratu

prędkości v i do największego prostopadłego do kierunku ruchu przekroju S ciała; F — kSv*.

Określić następnie: 1) jak zachowuje się prędkość spadania ciała ze •wzrostem czasu i 2) promień, jaki powinien mieć spadochron, aby przy łącznym ciężarze spadochronu i skoczka wynoszącym 100 kG, maksymalna prędkość spadania nie przekraczała 5 m/sek. Przyjąć k = 0,083.

Rozwiązanie. Zgodnie z drugą zasadą Newtona (z mechaniki) oraz z warunkiem zadania, równanie ruchu spadającego w powietrzu ciała (a ściślej ruchu jego środka ciężkości) ma postać

m—j- = mg—kSv²    albo    = g —av²\    a — —-

at    at    m

1 gdzie: m — masa ciała, v — prędkość spadania ciała w chwili t, zaś g — przyspieszenie ziemskie.

Rozdzielając w równaniu tym zmienne i całkując, otrzymamy

dv

q—av²

= dt-

1    , Vs 4-w V a

~la~-7/=" -f c

2 \'ag \^!g —v J a

(2)

Z warunku początkowego: dla t = 0, v = 0, wyznaczamy wartość stałej całkowania c — 0 i po podstawieniu jej do równania (2) oraz po rozwiązaniu go względem v, znajdujemy poszukiwaną zależność prędkości spadania ciała od czasu

v =

gZty ag— 1

g2t)/ag _|_ 1

2

(3)

1) Z otrzymanego związku wynika ciekawy i praktycznie doniosły fakt, że przy spadaniu ciała w powietrzu prędkość spadania przy nieograniczo

nym wzrastaniu czasu dąży do granicy lim v =

/->■+ CO

Teoretycznie prędkość graniczną osiąga ciało dopiero po upływie nieskończonego odstępu czasu, ale z praktycznego punktu widzenia, jak wynika ze wzoru (3), już po upływie kilku sekund od chwili rozpoczęcia

509