258

sina = tgacosa = —; • -•-= y/l+tg²a

^ctg~r

/1 ,

czyli sina = l

Zatem równanie (11) przyjmuje postać

albo 4a +gs = 4crg

(12)

Jest to niejednorodne równanie liniowe o stałych współczynnikach.

Rozwiązujemy je w sposób podany w §

Pierwiastkami równania charakterystycznego 4nr²+g = 0 są liczby

urojone r_li2 = ±i j/ = ±//c. Całka ogólna równania jednorodnego'ma

więc postać u = CiCos/ćr+C2sin/<r.

Postać całki szczególnej ^ równania niejednorodnego (12) jest podobna do wyrażenia stojącego po prawej stronie tego równania, którym jest tu stała, a więc s_y = A. Podstawiając s_t = A do równania (12), otrzymamy gA = 4ag, czyli - 4a.

Całką ogólną równania (12) będzie więc

(13)

s — w-i-Si = 4fl+c₁cosA:/+C2sinA:f

Stałe ci i C2 wyznaczamy z warunków początkowych: dla t — 0, s — 0 j

ds

— = 0.

dr    ]

Pierwszy warunek prowadzi do równania 0 = 4a4-Cj, skąd c_t = —4a.

Znajdując z równości (13)    — —c_lyfcśink/-| c₂kcos/c/ i uwzględniając

drugi z warunków początkowych, otrzymamy równanie 0 = c₂k, skąd

Zatem szukana zależność drogi, jaką przebywa kulka, od czasu będzie miała postać

>) Równanie to można też rozwiązywać inaczej jako niepełne równanie drugiego rzędu, , w którym nie występuje jawnie zmienna niezależna t (§ 6).

2) W punkcie B rynienki położonym najniżej a — 0. Z równania (11) wynika, że j^—-_a-J = 0, a z równania (12) wynika, że AB — 4a (długość

łuku AB cykloidy można obliczyć ze wzoru (*) dla rp_B = n).

Podstawiając s — AB — 4a do równania (14), znajdziemy czas, potrzebny dla stoczenia się kulki po cykloidzie od najwyższego punktu A do najniższego jej punktu B

4a = 4a(l—cos/cos/    =0

,i/l •

' { 4 a . 2 ’

‘AB

1

Przy staczaniu się kulki po prostej AB równanie różniczkowe ruchu środka ciężkości kulki będzie miało postać

d²s

m = mg sm •£ A BO

dl¹

gdzie: b = gsin /1R0 =g

= > ^2g ]'4-\-7l²

OA

AB

albo 2 ag

d²s

~d?

lag

O A² Ą-OB²    ]/4a^z-\-H²a²

Rozwiązując to proste równanie drugiego rzędu za pomocą kolejnych całkować obu jego stron (§ 6), znajdujemy

⁼ bt+ Ci; s = —2—j- Cj-j- C₂

Przy tych samych warunkach początkowych: s = 0 i -    = 0 dla t = 0,

wyznaczamy Cj = C₂ = 0. Wobec tego równaniem ruchu środka ciężkości kulki po prostej będzie

Podstawiając tu zamiast s długość odcinka prostoliniowego AB = aj/4+ji² otrzymamy czas staczania się kulki od punktu A do punktu B po linii

prostej

tA_B = -\/j(4 + 7l²)

a4-\-tc²

gt^z .

y 4-^tc²