DSC07297

16

Liczby zespolone

S/Inmy zatem i² + y* + y = 0, czyli

Jest to równanie okręgu o środku w punkcie zo = —— i promieniu r = —. Z poprzednich rozważań wynika, że z okręgu tego należy wykluczyć punkty 0 oraz —i. Szukany zbiór przedstawiono na rysunku.

• Przykład 1.6

Punkty zj = —1 + 2i, z₂ = i oraz zą = 2 + 4i są wierzchołkami równoległoboku. Wyznaczyć położenie wierzchołka 23 tego równoległoboku.

Rozwiązane

W rozwiązaniu wykorzystamy interpretację geometryczną sumy ficzb zespolonych. Wektor reprezentujmy sumę tri + tuj jest przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach reprezentujących liczby zespolone toi i toj. Zatem szukany wierzchołek tego równoległoboku ■pełnia warunek

n —*a = (*i-z2) + («- za).

Stąd

*1 = zą—*i+xa = (2+4»)—(—I+2i)+i = 3+3i.

Moduł i argument liczby zespolonej

• Przykład 1.7

Obliczyć moduły podanych liczb zespolonych:

»)4i;    b) 12i — 5;

c) V7+    d) (v/6 - y/S) + (v/5 + y/3) i;

e) sina + icasoe, gdzie a€ R.

Przykłady

17

Rozwiązanie

Moduł liczby zespolonej z = x+iy, gdzie x, y 6 R, jest określony wzorem |z| = \Jx⁷ + y¹ Zatem

a)    |4i| = \A)⁵-t-4^a=4;

b)    |12i — 5| = _n/(-5)^j + W = \A69 = 13;

c)    |v/7+ >/29£| = ^/(n/7)³ + ('/25)^J = >/36 = 6;

d) | (y/5 - \/3) + (y/ś+ y/5) i| =    {y/5 —>/3)^a + (\/5+ >/3)^ł =    = 4;

e)    ]sino + icoso| = \/sm^aa + coa^Ja = >/T = 1.

Przykład 1.8

Podać interpretację geometryczną modułu różnicy liczb zespolonych. Korzystając z tej interpretacji narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:

a) |z + 1 - 2i| = 3;    b) 2 < |z + i| < 4;

M*\^>u

z^J+4| < |z — 2i|.

c) |(H-ż)z-2|>4;    f) * ⁺

e) Re(z+1) < 0 oraz |i —z|<3; f)

Roi

R».

Rozwiązanie

Moduł różnicy liczb zespolonych zi, zi jest długością odcinka łączącego punkty zi, za płaszczyzny zespolonej (zobacz rysunek).

a)    Mamy

|z + 1 - 2«j = 3 «=> |z - (-1 + 201 = 3.

Szukany zbiór składa się z punktów z położonych w odległości r = 3 od punktu zo = — 1 + 2i. Jest to zatem okrąg o środku w punkcie zo = —1-1- 2i i promieniu r = 3 (zobacz rysunek).

b)    Mamy

2 $ |z + i| < 4 {=*2 $ |z — (—01 < 4.

Szukany zbiór składa się z punktów z położonych w odległości nie mniejszej niż rj = 2 od punktu zo = — i oraz w odległości mniejszej niż rj = 4 od lego punktu. Jest to zatem pierścień kołowy o środku w punkcie zo = —i promieniu wewnętrznym n = 2 i promieniu zewnętrznym rj = 4. Okrąg o promieniu ri = 2 należy do tego pierścienia, a okrąg o promieniu rj = 4 nie należy do niego (zobacz rysunek).