Ebook9

48 2. (hątft liczbowe

mamy n>k>*_} czyli n > ]. Stąd £ < $, czyli £ < e. Zatem J - £ < e.

Analogicznie m > k > ², czyli m > Stąd ^ < 3. czyli ~ < £. Zatem

£ - 2 < *• ^ 2 -». > -«•

Ostatecznie otrzymujemy

2    2

-f <---< £

Tl    III

2_

III

< e.

Zatem rozważany ciąg jest zbieżny do granicy właściwej.

Podamy teraz kilka twierdzeń, które ułatwiają obliczanie granic ciągów liczbowych.

Twierdzenie 2.6. Jeżeli lim |a_fł| = +00, to lim — — 0.

n—00    n—oo "

Twierdzenie 2.7. Niech (a_fł) będzie ciągiem ograniczonym i lim 6„ = 0.

n—»oo

Wtedy lim a?, • b_n = 0.

U — *00

Twierdzenie 2.8.

1)    Jeżeli lim a„ = 0 i V_n€N a_n > 0, to lim J- = -ł-00.

«-*oo    n—*oo ^a"

2)    Jeżeli lim o,i = 0 i V„₆n «« < 0, to lim --- = -00.

n—00    n-*oo °ⁿ

PRZYKŁAD 7. Obliczyć granice:

V    (3n^a-2n)^a

“) „'2™,

, x ,•    <2n+l)^a(3n-l)³

^b)    JiSŁ

c)    Jim

<0 J«m_o(l - y?) 0 “ $0 0 ” ji) ' •••' 0 ^_ ^)> JilŁ(A + 73⁺ • • • + ^^rnr)-

ROZWIĄZ A NIK.

a) Aby obliczyć tę granicę, dzielimy licznik 1 mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej naturalnej n występującej w mianowniku ułamka, tzn. przez n³

lim

n—00

(3n² - 2n)^ż 2n'² - 5n³ + 4n — 2

lim

9n⁴ - 12n³ + 4n²

n—00 2n* — 5w³ 4- 4n — 2

9n-12 + ± lim -*-—r—V

= —OO.

n—oo * — 5 o. 4. _ JL

I») Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej naturalnej

n występującej w mianowniku ułamka, tzn. przez n⁸

Hm (²ⁿ⁺‘)^ł(³ⁿ-¹)³ _t (2 + ³)^ł(3-i)³    „

« -oo (2 - 5«)( 1 - 2r«)'(3rt + 2)² »-oo (2 _    _ ₂)² (3 +    5 >) Ponieważ V„_gn — 1 ^ cosn! ^ 1, więc ciąg (cosn!) jest ograniczony. Ponadto jiin ^73 — 0. Na podstawie Twierdzenia 2.7 mamy

lim

n—»oo

« cos n! n³ + 3

= 0.

<*> Niech «„ = (1 - .£) (1 -    (1 - £) ■... (1 - J,). Ponieważ

1    n + 1

2    n

Zatem

lim a_n = lim ^

«—*00    Tl—.OO 2

n + 1    1

n ~ 2'

• ) Korzystamy ze wzoru dl) ~ Ji ~ dl (wyprowadzenie tego wzoru pozostawiamy Czytelnikowi) i mamy