271

tycznie, to znaczy można uzyskać ścisłe i ogólne wyrażenie algebraiczne opisujące sygnał wyjściowy. Na przykład zmiany wychylenia wahadła matematycznego opisuje sinusoida. Możemy zatem określić z dowolną dokładnością jego położenie w dowolnie odległej chwili czasu. Większość układów nieliniowych daje się rozwiązać wyłącznic numerycznie, to znaczy za pomocą komputera można uzyskać przybliżone rozwiązanie dla konkretnych stałych występujących w równaniu, danych początkowych i konkretnego sygnału wejściowego. Po drugie, jeśli na wejściu układu liniowego pojawi się niewielkie zakłócenie, stan układu zostanie zakłócony tylko w niewielkim stopniu. Na przykład jeśli niewielka siła zakłócająca zadziała na sprężynę obciążoną odważnikiem, amplituda jej wychyleń z pozycji równowagi będzie niewielka. Większość układów dynamicznych rozpatrywanych przez fizykę kwalifikuje się do tej kategoni. Nawet jeśli równania opisujące układ nic są liniowe. próbuje się je sprowadzić do równań liniowych. Oznacza to, że odrzuca się człony nieliniowe, uznając je z jakichś powxxlów za nieistotne, lub też szuka się rozwiązań wokół położeń równowagi. Takie podejście mc wynika z faktu, że układy liniowe dominują w przyrodzie, ale z faktu, że są rozwiązywalne, w przeciwieństwie do większości równań nieliniowych.

10.1.1.1. Przestrzeń fazowa

Stan swobodnego wahadła matematycznego, którego zachowanie opisują liniowe równania różniczkowe, możemy określić, podając chwilowe położenie i pęd Jeśli na wykresie położenic-pęd (czyli w tzw. przestrzeni fazowej) zaznaczymy miejsca geometryczne odpowiadające wszystkim możliwym wartościom położenia i pędu wahadła, otrzymamy wykres, który albo będzie przedstawiał punkt, albo okrąg. Pierwszy przypadek odnosi się do syluacji, kiedy wahadło spoczywa, to jest w każdej chwili położenie i pęd są takie same. W drugim przypadku układ wykonuje oscylacje harmoniczne proste: po pewnym czasie położenie i pęd osiągają wartości wyjściowe. W przypadku wahadła matematycznego przestrzeń fazowa jest dwuwymiarowa; w przypadku innych układów fizycznych może mieć znacznie więcej wymiarów. ponieważ do pełnego opisu stanu układu potrzeba więcej zmiennych. Na przykład układ złożony z dwóch cząstek gazu doskonałego zamkniętych w pudle wymaga 12 zmiennych: składowych pędu i składowych prędkości w trzech kierunkach przestrzennych dla każdej cząstki.

Zwróćmy uwagę na pewną istotną właściwość opisu układu fizycznego w przestrzeni fazowej. Po pierwsze, jeden punkt trajektorii układu zawiera pełną informację na temat stanu układu w danej chwili. Jeśli układ powTÓci do poprzedniego stanu fizycznego, punkt w przestrzeni fazowej obrazujący jego zachowanie wróci również do wyjściowego miejsca trajektorii w przestrzeni. Stan układu w każdej następnej chwili jest zdeterminowany stanem aktualnym oraz równaniem opisującym jego zachowanie Zatem powrót do tego samego punktu przestrzeni fazowej oznacza, że układ od nowa będzie kreślił tę samą krzywą. Innymi słowy, trajektoria w przestrzeni fazowej będzie krzywą zamkniętą, a układ będzie periodycznie powtarzał jakieś mniej lub bardziej skomplikowane zachowanie.

271