279

przekształceniu i tak dalej - w nieskończoność Na rycinie I0.4c przedstawiono przykład fraktala przypominającego drzewo.

Jak wskazał Mandelbrot. wiele obiektów przyrodniczych ma strukturę w przybliżeniu fraktalną. Na przykład drzewo oskrzelowe rozgałęzia się w sposób podobny do fraktala pokazanego na rycinie I0.4c. Okazuje się. że stosunek długości lewego do prawego odgałęzienia jest na każdym poziomie prawie taki sam i wynosi około 0.62. W organizmie człowieka ujawniono znacznie w ięcej tego typu struktur

Zauważmy jeszcze, że systematycznie powiększany fraktal ujawnia coraz większy liczbę szczegółów oraz że fragment fraktala jest podobny do całości (ryc. 10.4). Ta właściwość nazywana jest uwtopodobieriitorm.

10.1.5. Wymiar

Czy uszczelka Sierpińskiego jest obiektem dwu- czy jednowymiarowym^ Z jednej strony zbudowana została z dwuwymiarowych obiektów - trójkątów. Z drugiej jednak wskutek nieskończonego procesu rckurencyjnego całe jej wnętrze zostało usunięte - jest pusty. Tego typu problemy doprowadziły matematyków na początku XX wieku do rozszerzenia pojęcia wymiaru tak. żeby obejmował on również obiekty fraktalnc

Wymiar można intuicyjnie rozumieć jako .objętość" zajmowaną przez dany obiekt zanurzony w m-wymiarowej przestrzeni Kwadrat o boku a ma .objętość" równą a², jeśli zanurzony jest w przestrzeni dwuwymiarowej. Jego objętość równa się jednak zero. gdy zanurzyć go w przestrzeni trójwymiarowej. Wymiar zatem można określić jako najmniejszy wymiar przestrzeni, w której można zanurzyć obiekt, nie powodując przy tym. że jego objętość zredukuje się do zera. Tak więc punkt ma wymiar równy 0. Okrąg ma wymiar I. jako że jest to linia na płaszczyźnie.

Niemiecki matematyk Feli* Hausdorff zdefiniował wymiar następującym wzorem:

D-

lim

log*

-olog(WJ)

(10.5)

We wzorze (I0.S) S równa się liczbie kwadratów o boku d. które całkowicie pokrywają badany obiekt. Jeśli zanurzamy obiekt w przestrzeni jedno- lub trójwymiarowej a nic w dwuwymiarowej, będziemy mówili odpowiednio o odcinkach lub sześcianach. W przypadku obiektu płaskiego, takiego jak kwadrat o Kiku a.

Nm -7 . Zatem, jak łatwo wykazać. 0 = 2.

Zbadajmy teraz obiekt fraktalny. Takim obiektem jest na przykład zbiór Cantora. zdefiniowany rekurencyjnie w następujący sposób. Weźmy odcinek prostej i wytnijmy z niego środkową jedną trzecią. Następnie wytnijmy środkową jedną trzecią z dwóch odcinków, które nam pozostały. Otrzymujemy 4 odcinki. Uczyńmy z. kaź-

279