205(1)

Jeżeli div c(M₀) > O, to punkt M₀ nazywamy źródłem, a jeżeli div a(Mj) < < 0, to punkt M_q nazywamy upustem (ujściem), w pierwszym bowiem przypadku w dowolnym nieskończenie małym obszarze otaczającym punkt M₀ ciecz jest „wytwarzana”, a w drugim przypadku — ciecz „znika”.

Wartość bezwzględna dywergencji charakteryzuje natężenie źródła lub upustu.

Pole wektorowe, w którego każdym punkcie dywergencja jest równa zeru nazywamy polem solenoidalnyrn. Pole takie ma tę własność, że jego strumień przez każdą powierzchnię zamkniętą jest równy zera.

Zgodnie ze wzorem Gaussa — Ostrogradskiego (rozdz. VII, § 11) strumień i dywergencja pola wektorowego są związane zależnością

a_x dy dz 4- a_y dx dz -f- a_z dx dy

dx dy dz

(3)

#

+ G

x dydz—y² dx dz^Jr(x²-^srz²— 1 )dxdy

która oznacza, że strumień pola wektorowego przez powierzchnię zamkniętą (a) równa się calce potrójnej z dywergencji pola po obszarze (G) ograniczonym tą powierzchną.

945. Obliczyć strumień pola wektorowego p = xi—1)A:

_x2 V² Z³-

przez powierzchnię elipsoidy ^ -{- -_ct ⁼ od wewnątrz tej powierzchni.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1)

K =

Powyższą całkę powierzchniową (II typu) przedstawiamy jako sumę trzech całek składowych, które z kolei przekształcamy na całki podwójne, posługując się przy tym równaniami danej elipsoidy (a). Mamy:

1) K_l =

§

x dy dz .=

xdydz-f-

i

xdvdz

gdzie o¹! i a₂ są częściami elipsoidy, leżącymi po różnych stronach płaszczyzny yóz (por. rys. 98), mającymi różne równania w jawnej postaci

Przekształcając całki te na podwójne (wg wzoru danego w § 11 poprzedniego rozdziału), otrzymamy

J J xdydz = - J J -aj/l-^-^dydz

oi    (^ffi)yz

ponieważ powierzchnia Cj jest zwrócona w stronę ujemnego kierunku osi Ox, oraz    _

f j *4^* = j J «j/1 ~^~^dydz

bowiem powierzchnia cr₂ jest zwrócona w stronę dodatniego kierunku

osi Ox,

Rzuty (cfi),* i (cr₂)ys powierzchni i a₂ na płaszczyznę yOz przedsta-wiają jedną i tę samą elipsę -f < 1.

Zatem

C^Oyr

= 2a fj* j/l—£.~^dydz =

y2 Z²

gdzie Z[ — dodatnia wartość z wyznaczona z równania elipsy    = 1.

Obliczając całkę podwójną, znajdujemy K_x — y nabc (całkę wewnętrzną

łatwo obliczyć ze wzoru (B), rozdz. IV, str. 214, podstawiająca

7

2) K₂ = (. ij) y² dx dz = J J y² dx dz +

+ a    <r₃

y² dx dz

gdzie of₃ i a₄ są to części powierzchni cr, leżące po różnych stronach płaszczyzny xOz; ich równania mają postać

y„₃= -b    $ i

Przekształcając całki powierzchniowe na podwójne, otrzymamy

^K* ~ ~ ff ^b2{¹ a² c²) ^

frrA—m.    '    '

413