2 (5)

70

3. Ciągi i szeregi liczbowe

Wtedy (m+ I)/(n—m) ^ 1/e oraz |s„— s,-| < Me. Zatem

limsup|s„—<r| ^ Me,

a ponieważ e było dowolne, lim s„ = o.

15.    Definicja 3.21 może być rozszerzona tak, aby objęła przypadek kiedy a_n należą do pewne — Zbieżność bezwzględną definiujemy wtedy jako zbieżność szeregu Pokazać, że twierdzenia 3.33,3.34,3.42,3.45,3.47 i 3.55 pozostają prawdziwe w tym ogólniejszym sformułowaniu. (W dowodacż sąjf tylko nieznaczne modyfikacje.)

16.    Ustalmy dodatnią liczbę a. Wybierzmy Xj > y/a i określmy x₂, x₃, x₄,... za pomocą wzoru reksa

^x"^+t=ł(^x"⁺£)

a)    Udowodnić, że ciąg {x„} jest monofonicznie malejący i że limx„ =

b)    Przyjmijmy e„ = x„— y/a i pokażmy, że

2x„ ^<

i wobec tego przyjmując /? - 2 _v/a mamy

(n = 1,2,3,...).

c)    Powyższy algorytm jest wygodny do obliczania pierwiastków kwadratowych z uwagi na prostotę io rekurencyjnej i wielką szybkość z jaką ciąg zbiega do granicy. Dla przykładu, jeżeli a = 3 i xj = 2, pokaza^

~ < a wobec tego e₅ <4 -10'^I6, s₆<4-10'³².

17.    Ustalmy a > 1. Wybierzmy Xj > y/a i określmy

a+x„    ot— x²

^X”⁺¹ l+x„ ^X"⁺l + x/

Udowodnić, że

a) Xi >x₃ >x_s >...; b) x₂ <x₄ <x₆ < c) lim*. = Mjg

d)    Porównać prędkość zbieżności tego ciągu z ciągiem opisanym w zadaniu 16.

18.    Zastąpić wzór rekurencyjny z zadania 16 wzorem

p— 1    a

x„+, =    x„+ -x„ ^,+

p    p

gdzie p jest ustaloną liczbą naturalną. Opisać zachowanie tak określonego ciągu {x„}.

19.    Zwiążmy z każdym ciągiem a — {a„}, gdzie a„ przyjmuje wartość 0 lub 2, liczbę rzeczywistą

x(o):

%

Udowodnić, że zbiór wszystkich liczb x(a) jest identyczny ze zbiorem Cantora opisanym w paragrafie 2.44.

20.    Niech {/>„} będzie ciągiem Cauchyego w przestrzeni metrycznej X, którego pewien podciąg {/>„} jest zbieżny do p e X. Wykazać, że wtedy cały ciąg {/?„} jest zbieżny do p.

21.    Udowodnić następujący analogon twierdzenia 3.10b): Jeżeli {£„} jest ciągiem ograniczonych domkniętych podzbiorów pewnej zupełnej przestrzeni metrycznej X oraz E, = E, _{+ l} i

limdiam E„ = 0,

to H E„ składa się z dokładnie jednego punktu.