4 (5)

85

źnikach, że x„ < x. Jeśli od ogólnej reguły, jest rówM kim występują jego wyrazj

śd funkcji f

1 x_m+)-f(x_n~) = c„; łu (a, b).

punktów przedziału (a, h* tronnie ciągła. Jeśli w (31| , dla których x„ < x, to (u. b), tj. / byłaby ciągła

i kład odsyłamy czytelnika

rzoności

eczywistych, rozszerzymy ie jako dowolny przedział

stkich liczb rzeczywistych sy (c, + oo). Analogicznie,

>kreślona na zbiorze £.

ch, jeśli dla dowolnego h£jest niepusty i/(r)e U

i pokrywa się z definicją

a tym przypadku i jego

Granice nieskończone i granice w nieskończoności

L«r : i

E) 1/ - U)~*A/B,

strony w b), c) i d) mają sens.

mnijmy, że oo — oc,0- oo, oo/co, A/0 nie zostały zdefiniowane (patrz definicja 1.23).

Zadania

^■fctł/będzie funkcją rzeczywistą określoną na R' i spełniającą

Rm [/(x+łi)—/(x—h)] — 0 -

^^Lgjkaego x e R^l. Czy warunek ten pociąga ciągłość/?

■ pMcizać, że dla ciągłej funkcji/, odwzorowującej przestrzeń metryczną X w przestrzeń metryczną % mamy ^Kjggj iU dowolnego podzbioru E <= X. (E oznacza domknięcie E.) Pokazać na przykładzie, że/(£) może być podzbiorem/(£).

ł|fccli/będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przestrzeni metrycznej X. Niech Z(f) będzie zbiorem ^^Msdticb p e X, dla których/(p) - 0. Pokazać, że zbiór Z(f) jest domknięty.

K / i g będą ciągłymi odwzorowaniami przestrzeni metrycznej X w przestrzeń metryczną Y, i niech gęstym podzbiorem X. Pokazać, że/(£) jest gęsty w f(X). Jeżeli g(p)= f (fi) dla dowolnego p e £, to pokazać, = f{p) dla p e X. (Inaczej: odwzorowanie ciągłe jest wyznaczone przez swoje wartości na gęstym podzbiorze I JpE» łreśloności.).

* Udowodnić, że jeżeli/ jest funkcją ciągłą określoną na domkniętym podzbiorze E a R\ to istnieje ciągła rzeczywista g określona na R¹ taka, że g(x) = f(x) dla x e E. (Funkcje/o powyższej własności nazywają się rozszerzeniami funkcjif z £ do £¹.) Pokazać, że powyższe stwierdzenie staje się fałszywe, jeżeli pominiemy .domkniętym”. Uogólnić ten rezultat na przypadek funkcji o wartościach wektorowych.

Hpsfcazówka. Niech g będzie określone tak, aby jej wykres stanowił linię prostą dla każdego z odcinków, które łzupełnienie £ (porównaj zadanie 29 z rozdziału 2). Wynik pozostaje prawdziwy dla dowolnej przestrzeni lecz dowód nie jest już tak prosty.

W t Dia funkcji / określonej na £ jej wykresem nazywamy zbiór punktów (x,f(x)) przy x e £. W szczególności, jest zbiorem liczb rzeczywistych oraz/przyjmuje wartości rzeczywiste, to wykres funkcji/ jest podzbiorem I iłpKzyzny.

I liech £ będzie zbiorem zwartym. Pokazać, że/ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres jest zwarty.

I 7. Niech £ c X i niech / będzie funkcją określoną na X. Ograniczeniem funkcji f do E nazywamy funkcję zbiorem określoności jest £ i która spełnia warunek g(p) = /(p) dla p e £. Określmy/ i g na R² za pomocą /(0,0) = g(0,0) = 0,/(x, y) = xy¹/(x¹+yⁱ), g(x, y) = xy²/(x²+y⁶) dla (x, y) # (0, 0). Wykazać, że/ jest ^Hpnkzona na R², g nie jest ograniczona w żadnym otoczeniu (0, 0) oraz / nie jest ciągła w (0, 0). Mimo tego ^KaoBczsnia obu funkcji do dowolnej prostej w R² są funkcjami ciągłymi.

S. Niech / będzie rzeczywistą funkcją określoną i ciągłą jednostajnie na ograniczonym zbiorze £ e £'. ^Sbnarać, że/ jest ograniczona na £.

P-kazać, że teza nie zachodzi, jeżeli w założeniach opuścimy ograniczoność zbioru £.

% Pokazać, że warunek ciągłości jednostajnej może być sformułowany równoważnie w następujący sposób: dowolnej liczby e > 0 istnieje 5 > 0 taka, że diam/(£) < e dla każdego £ spełniającego warunek diam£ < 6. M. Uzupełnić szczegóły w następującym dowodzie twierdzenia 4.19: Jeżeli / nie jest ciągła jednostajnie, to przy ^pnq liczbie e > 0 istnieją ciągi {p„} i {g„} w X takie, że d_x(p„,q„)~*0, lecz d_y(f(p„),f{q_n)) > c. Zastosować ■ńratrdzenie 2.37 w celu otrzymania sprzeczności.

II. Niech/będzie odwzorowaniem jednostajnie ciągłym przestrzeni metrycznej Xw przestrzeń metryczną Y. Jfciazać, że dla dowolnego ciągu Cauchy'ego {*„} w X ciąg {/(*;)} jest też ciągiem Cauchyego. Zastosować ten