58 59

58 6 METODY NUMERYCZNE

który wywołuje funkcję ode23 i podaje rozwiązanie testowanego układu równań z M-pliku odelOOO.m.

steps=0;

t0=0;t2=3;    '/, zadany przedział

x0= [1    -1] ;    '/, wartości dla t=0

[t,x] = ode23 ('odelOOO', tO, t2, x0, le-1,0); steps

6.2 Interpolacja i aproksymacja

Omówiono interpolację wielomianową i interpolację z użyciem funkcji sklejanej spinie. Problem interpolacji występuje wtedy gdy funkcja jest zadana w skończonej ilości punktów a występuje potrzeba obliczenia wartości pomiędzy tymi punktami.

Klasycznym rozwiązaniem problemu jest wielomian interpolacyjny La-grange’a stopnia n, który przechodzi przez n + 1 zadanych punktów. Ponieważ wielomian jest funkcją ciągłą to można obliczyć jego wartość w dowolnym punkcie.

Jeśli ilość zadanych punktów jest większa niż stopień wielomianu plus jeden to zazwyczaj nic można przeprowadzić krzywej przez wszystkie zadane punkty. Mamy wtedy do czynienia z zadaniem aproksymacji. Rozwiązaniem może być wielomian, który najlepiej, w sensie minimum kwadratu błędu, aproksymuje zadaną krzywą. Metoda ta, pomimo rozlicznych wad, znajduje nadal poczesne miejsce w podręcznikach matematyki. W MATLAB-ie powyższe zadanie rozwiązuje funkcja

» p=polyfit(x,y,n)

Wartości otrzymanego wielomianu, w dowolnych punktach zadanych wektorem xx, oblicza funkcja

» ypi= polyval(p,xx).

Parametrami obu funkcji są:

(x,y) - wektory zadanych punktów

p - wektor współczynników wielomianu,

ypi - wektor wartości wielomianu w zadanych punktach xi

Wadą interpolacji wielomianowej są znaczne oscylacje wielomianu interpolacyjnego (linia kropkowa i linia przerywana na rysunku 6.1).

H ^J i I unl<• |/i sklejana: spline

I u 111 h ilt I¹ i 111. i ma własności interpolacyjne lepsze od wielomianów. Jej

^ y.1.....i" " latach czterdziestych [4]. Stostosowanie funkcji sklejanej

■li luli 11"'lii' |i i aproksymacji omówiono w [8], a do rozwiązywania równań fe|jhiH d mdi zwyczajnych i cząstkowych w [9].

i • ■ Im - Imi a k turystyczną funkcji sklejanej jest nieciągłość wyższych po-Hklfit • li . i i' zęściej już trzecia pochodna jest nieciągła - w tak zwanych Mliii' 1.1. u' lowych (dotyczy to funkcji sklejanej rzędu trzeciego, ang. cubu dBt) N i- - inność wyższych pochodnych nadaje funkcji sklejanej niezwy-HBii ilu - - i umożliwia dopasowywanie do zadanych punktów.

' W M A I LAB-ie, do utworzenia funkcji sklejanej przechodzącej przez i-MwkŁy¹ imluie wektorami [x,y] oraz do obliczenia wartości funkcji sklejanej Mi |.....U.u li zadanych przez wektor [xx], używa się funkcji

f»|i spline (x,y,xx)

|ilzii dp jest wektorem wartości funkcji sklejanej w punktach zadanych przez wi I- Im xx.

apllna, wielomian 6 I 8 stopnia.

Rys. 6.1 Funkcja sklejana i wielomiany

1

i,’.'    Przykład interpolacji i aproksymacji