6 (23)

96

5. Różniczkowanie

przy czym /jest różniczko walna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje' f_t i f₂ są różniczkowalne w tym punkcie.

Przechodząc do ogólnego przypadku funkcji wektorowych, tzn. funkcji f odwzorowujących (a, b) w pewną przestrzeń R^k, możemy w dalszym ciągu stosować definicję 5.1 dla otrzymania f'. Obecnie <p(t) we wzorze (1) jest przy dowolnym t punktem przestrzeni R^k, a granicę w (2) rozumie się w sensie zbieżności według normy w tej przestrzeni. Innymi słowy, f'(x) jest tym punktem przestrzeni R^k, dla którego

(30)

i f' jest znów funkcją o wartościach w przestrzeni R^k.

Jeżeli/₁₍... ,f_k są składowymi funkcji f, określonymi w twierdzeniu 4.10, to

m

i '-(rwo

i funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x wtedy i tylko wtedy, gdy każda z funkcji f_u... ,f_t jest różniczkowalna w punkcie x.

Twierdzenie 5.2 pozostaje prawdziwe i w tym przypadku; to samo dotyczy twierdzenia 5.3 a) i b), jeżelifg zastąpić f-g — iloczynem skalarnym (por. definicję 4.3).

Kiedy jednak chodzi o twierdzenie o wartości średniej oraz regułę 1’Hospitala, sytuacja ulega zmianie. Podane niżej dwa przykłady pokazują, że obydwa te twierdzenia nie są prawdziwe już w przypadku funkcji zespolonej.

5.17. Przykład. Określmy dla x rzeczywistego

(32)    /(x) = e^ix = cosx+isinx.

(Ostatnie wyrażenie można traktować jako definicję zespolonej funkcji wykładniczej e‘^x. Funkcje te będą dokładnie omówione w rozdziale 8.) Wtedy

(33)

/(2iu)-/(0) = 1-1 = 0,

lecz

(34)

f\x) = ie^ix

tak, że |/'(x)| = 1 dla dowolnej wartości rzeczywistego x.

W ten sposób twierdzenie 5.10 nie jest w tym przypadku prawdziwe.

5.18. Przykład. Na przedziale (0,1) określmy funkcje/i g przyjmując/(x) = x oraz

(35)

g{x) = x+xV*².

Ponieważ Je^,f| = 1 przy dowolnej wartości rzeczywistej t widzimy, że

(36)

dalej,