Capture065

o = v 10 4 = |,58. Pomcwat rozkład normalny jat ciągły, przyjmujemy. /,•    71

7 mieści się u granicach dokładnych od 6.5 ili> 7,5. Musimy zatem określi,. powierzchni pod krzyw* normalna powyżej rzędnej poprowadzonej w punku, przy średniej 5.0 i odchyleniu standardowym 1.58. Wartość 6.5 przcks/i.,i„ wynik standardowy wyncteł : ^r <6.5 - 5.ot/l.5X * 0.949. c /esc powicr/chm ,, krzyw* normalna znajdująca się powyżej rzędnej poprowadzonej u p, .

_: = 0.040 można lalwo określić. posluguiąc się tablicę A z. Dodatku. Wyn<>_M .

0.171 Tak więc wykorzystując przybliżenie dwumianu do krzywej nomuln,_: cuieiny prawdopodobieństwa uzyskania 7 lub więcej orłów przy rzucaniu Hi _n tami jako 0.171. Wynik ten możemy porównać z dokładnym prawdopodobni, jakie otrzymujemy bc/pibrednio / rozwinięcia dwumianu pokazanego w taK;, -Prawdopodobieństwo to wynosi 0.172. Rozbieżność między oszacowaniem uzysk na podstawie krzywej normalnej a dokładnym prawdopodobieństwem dwumi.u jest bez znaczenia.

Tahcla 7.1. Porównanie prawdopodobieństw dwumianowych x odpowiednimi przybliżeniami nomulnymi dła n ■ 10 i p * 1/2

Liczba ortów	1X • ładne prawdopodobicnttwo dwumianowe	Przybliżenie normalne
10	0.001	0.002
9	0.010	0.011
8	0.(M4	0.044
7	0.117	0.114
6	0,205	0.205
5	0.246	0.248
4	0.205	0205
3	0.117	0.114
2	0.044	0.044
1	o.oto	0.011
0	0.001	0.002
Razem	1.000	1.000

Tabela 7.1 przedstawia porównanie prawdopodobieństwa dumianowego i ; . wdopodobieństwa normalnego dla n = 10 i p = 1/2 Zwróćmy uwagę, że \\ i wypadku różnice między dokładnymi prawdopodobieństwami dwumianów, a odpowiadającymi im przybliżeniami normalnymi są niewielkie.

Dokładność przybliżenia zależy zarówno od n. jak i od />. W miarę w/r. n, dokładność przybliżenia jest coraz większa. Dla dowolnego n. gdy /> odchyi.i od 1/2. przybliżenie stujc się coraz mniej dokładne

7.7. Właściwości rozkładu normalnego.

Podsumowanie

Poniżej przedstawiamy podsumowanie właściwości krzywej normalnej:

1. Krzywa jest symetryczna Średnia, mediana i wartość modalna zbiegaj* mc jednym punkcie.

^{Ł N}“^JWy';^/'^{1 kr7y}""    ^w P“"k=« <.cdme, _c/yl, .    ₀

jcdno.lk.mti krzywe, nortnolnc, .ńw_n. ₀ Vm '    ’ ^m ' ‘ ^w

J. Krzywa JCM uympiotyc/n, Zbliż, ,_K ,„j j„.... ______

mc dochodzi i rcwtug, „_c „d _{minu> n},_C4końtVim, .    ' *" "'*** * ^n,c>

4.    Punki, z ' ¹ krz.w.i zn.ylun _H1C » _m .    ■ P «« wcdintam.-

„kc^chytem, «md«d..wc,..    , ^_c)

^kr,>'^VJ mKn'“ względem o,, p,„,„,_w, ,    ^ Zł l

5.    Mmc, wiece, 6X procent powierzchni pod krzyw. m.<c,

lub mbms icdnc, jednoMk, odchyleń,, *«**,«_, * ,_rnlnie,    ^P

6.    W .Mn.wUc.mcj krzywe, normalne, cranice ±1% , ^ .*    . __im£

' ^{= ±2}f⁸    99    aM‘^nwtt) powicrzelrm p,«J krzew, pzc czym ,.J-

powtednm 5 procent , I proce* powrcrzchn, tratw, ^ p,_VJ ^ pZZaB.

Podstawowe terminy i pojęcia

Funkcja ifunction)

Krzywa nonnalna (nomuil cur\e)

Rzędna (ordinatt)

Powierzchnia (obszar) pod krzyw* normalną iorta mder the normo! runn Obszar między 4 = ±1.% (aren brtwecn z = ±l.96>

Obszar między c = ±2.58 (ano bttween z ~ ±2.58)

Zadania

1.    Określ wysokości rzędnych krzywej normalnej poprowadzonych w punktach następujących wartości z: -2.15. -1.53. +0.07. +0,99. +2.76

2.    Mamy zmienną o rozkładzie normalnym z X = 50 i s = 10. Dla <X = 200 określ wysokość rzędnych w następujących punktach wartości X: 25. 35. 49. 57 i 63.

3.    Określ część powierzchni pod krzywą normalną: (ui między vredmą i ; = 1.49. (b) między średnią i : = 1,26. (c) na prawo od c = 0.25. idi na prawo od r = 1.50. (e) na lewo od ; = 1.26. (fi na lewo od : = 0,95, igi między : = ±0,50. (h» między ; =-0.75 i ; = 1.50. (i) między : = 1,00 t z = 1.96. (j) międ/.y : = 1,00 i ; =1.01.

4.    Znajd/ taką wartość c. by część powierzchni tai na prawo od : wynosiła 0.25. (b) na lewo od średniej wynosiła 0.90. ic) między średnią i ; wynosiła 0.40. <d) między ±z wynosiła 0.80

5.    Przy założeniu, że iloraz inteligencji ma w populacji rozkład normalny ze średnią 100 i odchyleniem standardowym 15. określ, jaka część ludzi ma iloraz inteligencji: la) powyżej 135. <b) powyżej 120. (c) poniżej 90. idi między 75 t 125

6.    Prowadzący zajęcia postanowił, że 25 procent studentów nie zda egzaminu Oceny z egzaminu mają w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią 72 i odchyleniem standardowym 6. Jaką ocenę musi uzyskać student, aby zdać egzamin?

128

129