Capture282

28.9. Zasoby zmienności wspólnej

Zasób zmienności wspólnej. Ir, jest proporcja wariancji danej zmiennej -innymi zmiennymi w zbiorze. Jest ona suma kwadratów wspólnych czynnikowych. Początkowo wartości te są nieznane i trzeba je oszacow.u _n. stawie danych Oszacowania zasobów zmienności wspólnej umieszczamy ,_k • korelacji na jej głównej przekątnej przed przystąpieniem do analiz\ czynni. Istnieje znaczna różnorodność metod szacowania zasobów zmienności Istnieje na przykład arbitralna metoda, przyjmująca jako oszacowanie naj*,;V> korelację w każdym wierszu bądź kolumnie. Jednym / najczęściej przyimm. oszacowań, bardzo godnym polecenia, jest kwadrat korelacji wielokrotnej. R- r-dzy każda zmienną a n - 1 pozostałych zmiennych Kwadraty korelacji wie. > <

nych. /?j. Rl.....R$, między każda zmienna a /i — I pozostałych zmiennych n

łatwo obliczyć za pomocą komputera. Rj jest proporcja wariancji jednej zrr.::-która wyjaśnia odpowiednio ważona suma pozostałych zmiennych \s zwidzi.; tym może on stanowić wiarygodne oszacowanie zasobu zmienności wspolnci loda ta nie jest łatwa w stosowaniu. Czytelnik przypomina sobie zapewne, u i nic jest nie obciążonym oszacowaniem korelacji wielokrotnej w populacji -    [

kość obciążenia zależy tu od wielkości próby oraz liczby predyktorów.

Jeszcze inny sposób to posłużenie się w charakterze oszacowania zmienności wspólnej współczynnikiem rzetelności uzyskanym metoda ..tcst-rctN' r_ir jeśli jest on dostępny. Można wykazać, że R, jest granica dolna, a r górną zasobu zmienności wspólnej; czyli że R, ś hj ś r_u.

Oszacowanie zasobu zmienności wspólnej jest ściśle związane z liczba a-: mków. Zasób zmienności wspólnej ujmuje się czasami w postaci elementów gło-* ncj przekątnej, umożliwiających wyjaśnienie korelacji spoza przekątnej w najbe-dziej oszczędny sposób, tzn. za pomocą najmniejszej liczby czy nników Pr/s r;; czywistych danych, obciążonych błędem próby, sprecyzowanie, co znaczy ,ny niniejsza liczba czynników". _{nic )CM y<||}.

poza zakres lej Utyki. S/c/cr^^,, _IKTv^_t,^{m pmMym}    to wytraczj

jMulaik (1972).

28.10. Metoda czynnika głównego

ZEt*¹    ,,bCCn,C **'**'*“* wyodrębniona onmk .

r^,T^.,.‘^,r'^cprou "^p"^mn,t p««w4*%fai

rzadko, dopóki mc rozpowweehmh się komputer,    ^^Wjno ją

Pomiary <łwOch inucunych w po*,c    _{v clOTM4w} £

_M wyk_re„e w poąttc, punktu o odpo»,„i„,_m pokazu .,*«

„atnyeh w_spolreedn_)th W efek« pou,u_K    ^

Je>ell te dwie zmienne ma,, dtro.ym.aow, ro,ihd mule, , u«., , rowa. tt. układ punktów ma kul* eltptt k«U ,mtennt_v» ^u „*«, _m j._K na przykład n. to punkt> mo/na przedstaw* na wskresie o n osach wtoóirzcdDsch Powstaje wówczas układ punktów w Ls/uk.e eipwidy. Cłymuk. główne od**. wiadają głównym osiom lej elipsoidy.

Można stawiać pytania o wymiary elipsoidy Je/cli przed wyod^teemem czynników na głównych przekątnych macierzy korelacji postawimy jedynki, to elipsoida będzie miała n om głównych i otrzymamy n składowych Jeżeli na przekornych umieścimy oszacowania zasobów zmienności wspólnej, to powstanie m czynników. gdzie m jest zazwyczaj mniejsze od n.

Można wykazać, ze wyznaczenie om głównych elipsoidalnego układu punktów sprowadza się w kategoriach algebraicznych do określenia zbioru czynników w porządku malejącym pod względem wkładu w cały zasób zmienności wspólnej, przy założeniu, że oszacowania zasobów zmienności wspólnej umieszczono na głównej przekątnej macierzy korelacji

Obecnie postaramy się przedstawić pokrótce algebraiczne uzasadnienie obliczania czynników po kolei. Stosując praktyczne pavedury obliczeniowe, otrzymujemy wszystkie czynniki jednocześnie. Rzecz sprowadza się do określenia czynnika Fi, przy którym wielkość

V’| = uji + irji +•••+ <z;i    (28.10)

jest największa. V', jest tu wkładem F, w cały zasób zmienności wspólnej. Obli-cżując F|. Otrzymujemy zarazem macierz reszt pierwszego czynnika Nakład pierwszego czynnika w r,_; wynosi Om^i- ^J korelacja reszto wa r,_: ^aii^an- 0g°'^nic rzec/ biorąc, korelacje reszto we pierwszego czynnika wyrażone są wzorem r₄ -- a_iXa_kl. W efekcie otrzymujemy tabelę korelacji resztowych. Jest to tabela korelacji po usunięciu wpływu pierwszego czynnika i / korelacjom, resztowym. podanymi na przekątnej.

561