CCF20090120066

Proszę sporządzić samodzielnie tabele dla x⁴ i x⁵. Można ułożyć inne wyrażenia, np. 2x + 3 albo x²-f5x-}-7, i sporządzić dla nich analogiczne tabele. Przekonamy się, że zawsze w którymś kolejnym wierszu otrzymamy same zera. Jaka zasada określa liczbę wierszy, po której występuje wiersz zawierający zera? Odpowiedź na to pytanie podamy później, ale Czytelnik może spróbować sam ją znaleźć. Należy przerobić większą liczbę różnych przykładów, następnie zgrupować te, w których zera pojawiają się w drugim rzędzie, tę, w których zera występują w rzędzie trzecim itd. Poszukiwana zasada jest zupełnie prosta.

FUNKCJE WYKŁADNICZE

Stwierdziliśmy już, że w przypadku każdego wyrażenia, stanowiącego kombinację różnych potęg x, w pewnej fazie opisanej wyżej procedury wystąpią wiersze złożone z samych zer.

Nie wszystkie jednak rodzaje wzrostu posiadają tę własność; w gruncie rzeczy cechę tę mają tylko wyrażenia zawierające x w różnych potęgach.

O prawdziwości tego twierdzenia można się przekonać, badając wyrażenia skonstruowane na jakiejś innej zasadzie. Weźmy np. ciąg liczb: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... itd., w którym każdy następny wyraz powstaje z podwojenia poprzedniego. Ciąg taki odpowiada wyrażeniu 2x. Należy pamiętać, że rozpoczynamy od x ~ 0. Gdyby jakaś suma pieniężna co roku podwajała się — bardzo wysoka stopa procentowa! — 1 zł zamieniłby się po upływie roku na 2 zł, po dwóch latach na 4 zł itd. Po x latach kapitał wyniósłby 2^X zł. Jeśli posługując się taką samą metodą jaJk przedtem ułożymy dla takiego ciągu liczb tabelę, otrzymamy:

1    2    4    8    16 32    64 128 ...

1    2    4    8    16    32    64...

1    2    4    8    16    32...

1    2    4    8    16...

Każdy wiersz jest dokładnie taki sam jak poprzedni! Choćbyśmy nie wiem jak długo kontynuowali tę tabelę, nigdy nie otrzymamy wiersza złożonego z samych zer.

Spróbujmy rozpatrzyć 3*. Powstanie tabela:

1    3    9    27    81    243...

2    6    18    54    162...

4    12    36    108 .. .

Tu z kolei liczby w każdym kolejnym wierszu są dwa razy większe od liczb w wierszu poprzednim. Choćbyśmy kontynuowali tabelę dowolnie długo, nigdy nie otrzymamy wiersza z samymi zerami.

2^X, 3^X nazywamy funkcjami wykładniczymi. Jeśli „dowolną liczbę” zastąpimy skrótem a, funkcję wykładniczą możemy zapisać jako a^x.

RACHUNEK RÓŻNIC SKOŃCZONYCH

Częslto zdarza się, że chcemy znać ogólną regułę, według której został utworzony określony ciąg liczbowy. Technik może ustalić doświadczalnie, jakie ciśnienie rozsadzi ściany kotła wykonane z blachy o różnej grubości. Jeśli uzyskane wyniki potrafi on wyrazić w postaci prostej reguły, będzie to nader użyteczne dla innych techników. Przyrodnik mógłby co dzień mierzyć jakąś roślinę i próbować ustalić, według jakiej zasady odbywa się jej wzrost.

Rozwój nauk ścisłych w znacznej mierze polega na poszukiwaniu ogólnych reguł drogą ana-

135