CCF20090120093

sie. Jeżeli nie potrafimy określić, jaka jest dokładna prędkość, rozpoczynamy stawiać pytania. Najlepiej zacząć od pytań niemądrych. Czy prędkość wynosi milion km na godzinę? Albo jeden cm na stulecie? Prędkość leży gdzieś pomiędzy tymi granicami. W porządku. Wiemy już coś o prędkości. Zaczynamy od wprowadzenia granic i stwierdzenia, w jakim stopniu można je do siebie zbliżyć. Należy skontrolować własną metodę myślena. Skąd wiemy, że prędkość jest mniejsza niż milion km na godzinę? Jakie oczywiste fakty wynikające z tabeli potwierdzają to? Jakiej metody użyliśmy podświadomie dla oceny prędkości? Czy można zastosować tę metodę w celu uzyskania bardziej prawidłowej oceny?

Czytelnik wie, co to jest prędkość. Nie uwierzyłby człowiekowi, który twierdzi, że maszeruje z prędkością 5 km na godzinę, ale na przebycie 6 km potrzebuje 3 godzin. Taki sam zdrowy rozsądek należy zastosować do kamieni staczających się z góry, a rachunek różniczkowy nie będzie miał przed nami tajemnic.

PRZYKŁADY

Mówiliśmy już o tym, że Czytelnik nie powinien, przystępować do rozwiązywania jakiegoś problemu, dopóki nie ma w umyśle jasnego obrazu tego problemu i 'dopóki nie znalazł jakiegoś siposobu powiązania go z życiem. Czytelnik powinien dokładnie wiedzieć, czego ów problem dotyczy. Jest to ważne zwłaszcza przy badaniu prędkości, co wcale nie jest tak proste, jak nam się z początku wydaje. Czytelnik musi sobie znaleźć jakiś przyrząd pozwalający mu obserwować ruch. Może to być ołówek turlający się w dół rysownicy, rower na zboczu góry albo ciężarek zawieszony na sznurku. Można także obserwować ruch brzegu taśmy filmowej. Większość uczniów zabawia się robieniem rysunków na marginesie książki; gdy stronice książki opadają szybko jedna za drugą, wydaje się, że narysowane postacie poruszają się. Tę samą metodę można zastosować 'przy badaniu ruchu punktu. Ma to tę zaletę, że można badać ruch zarówno „zamarznięty” — patrząc na punkty znaznaczone na różnych stronicach książki — jak również w akcji. W zadaniach

1    i 2 przyjęto założenie, że stronice książki opadają w tempie 10 na 1 sekundę.

1.    Na pierwszej stronicy książki zaznaczyć punkt w odległości 0,1 cm od dolnego brzegu stronicy, na drugiej w odległości 0,2 cm itd.; na n-tej stronicy punkt

71

będzie w odległości — cm. Ilustruje to ruch, w którym

y — x (y w cm, x w sekundach). To, iż punkt porusza się ze stałą prędkością, wynika z faktu, że punkt na każdej stronicy znajduje się zawsze o 0,1 cm wyżej niż punkt zaznaczony na stronicy poprzedniej.

2.    Na n-tej stronie książki zaznaczyć punkt na

n²

wysokości — ^ . Odpowiada to ruchowi określonemu

wzorem y — x², który omówiliśmy w tym rozdziale. Należy zwrócić uwagę na to, jak wolno punkt się porusza w pierwszej połowie sekundy (pięć stronic) i jak nabiera prędkości w miarę upływu czasu.

3.    Ciało porusza się zgodnie ze wzorem y — x. Należy sporządzić tabelę dla ruchu tego ciała i przekonać się, że porusza się ono ze stałą prędkością oraz że ta prędkość wynosi T,. Istotnie, gdy y = x, to y' — 1.

Podobnie należy wykazać, że:

4.    Gdy y — 2x, y' — 2.

5.    Gdy y x, y' .

4    4

6.    Gdy y = x+l, to y' — 1.

7.    Gdy y = #+2, to y' —1.

8.    Gdy y =~ #+1, to y' = —.

4    4

3    3

9.    Gdy y = —- #+2, to y’ —

10.    Pies goni kota. Bieg kota określa wzór y ~ 10# + +2, a bieg psa — wzór y: = 10#. Czy prawdą jest, że:

a)    jedno i drugie zwierzę porusza się z tą samą prędkością 10 m na.sekundę; b) pies znajduje się zawsze o

2    m za kotem; c) y' — 10 dla obu wzorów?

1.1. Jeżeli kot biegnie zgodnie z wzorem y = 10#+ +10, a pies zgodnie z wzorem y = 15#, to czy prawdą jest, że: a) pies rozpoczyna pościg o 10 m za kotem;:

b)    pies biegnie szybciej niż kot; c) pies złapie kota w ciągu krótkiego czasu? Jaka jest wartość y' dla kota? A dla psa? Kiedy pies dogoni kota?

189