CCF20090120102

rozdz. 6 — że pomnożeniu przez 10 odpowiada „jeden pełny obrót”.) Wykres należy zrobić dla wartości x pomiędzy 1 i 10 nanosząc odpowiednio dużo punktów, aby otrzymać dokładną krzywą. Zauważmy, że wykres jest najbardziej stromy dla x = 1. I^!m większe jest x, tym wykres jest mniej stromy. Spodziewamy się więc, że otrzymamy na y' taki wzór, zgodnie z którym y' będzie malało ze wzrostem x.

Możemy otrzymać przybliżone pojęcie o y' zmieniając x o 0,1 i badając, jak ta zmiana wpływa na zmianę y. Część tej pracy przedstawiona jest w tab. 13. Zamiast wypisywać wartości w wierszach, wygodniej jest podać je w kolumnach.

Tabela 13

X	y = log x	A y	A y Ax
1	0,000-0	0,0414	0,415
1,1	0,0414	0,0378	0V378
1,2	0,0792	0,0347	0,347
1,3	0,1139	0,0j322	0,322
1,4,	0-,,1-401	0,0300	0.300
1,5	0,1761	0,0290	O,2l90
1,6	0)2041
2,0	0,30110	0,0212	0,212
2,1	0,02.22
10,0	1,-0000	0,0043	0,043
10,1	1,0043

W pierwszej kolumnie występują wartości x. Każda wartość jest większa od poprzedniej o 0,1. Tak więc Aa;, zmiana wielkości x, wynosi zawsze 0,1. Druga kolumna zawiera logarytmy liczb pierwszej kolumny, znalezione w tablicach logarytmicznych. Trzecia kolumna podaje zmianę, jakiej ulega druga kolumna, czyli Ay. Czwarta kolumna podaje przybliżoną ocenę prędkości, czyli y'; zmianę wielkości y, czyli Ay, podzielono przez odpowiednią zmianę wielkości x, czyli Ax. Dzielenie przez [0,1 oznacza mnożenie przez 10. Liczby czwartej kolumny są więc 10 razy większe od liczb trzeciej kolumny,. Tabela 13 nie jest kompletna; dla oszczędności miejsca opuszczono liczby zawarte pomię-ćfczy 1,6 i 2,0 oraz pomiędzy 2,1 i 10. Czytelnik powinien to uzupełnić.

Liczby czwartej kolumny dają nam przybliżoną miarę stromości wykresu funkcji y — log x. Jest jasne, że wykres staje się mniej stromy w miarę wzrostu x — fakt ten zanotowaliśmy już przedtem. Następnym krokiem jest znalezienie wyrażenia na te liczby. Ponieważ liczby nie są dokładne, zadowolimy się wzorem, który by do nich względnie dobrze pasował; nie oczekujemy dopasowania idealnego.

Znalezienie wzoru jest często trudne. Nowe odkrycie wymaga zazwyczaj wielu lat. Jeżeli rozwiązanie takiego problemu zajęło komuś kilka tygodni, to nie powinien się tym .zniechęcać. Należy po prostu wy-próbowywać jeden pomysł po drugim, aż wpadnie się na właściwą odpowiedź. Pomocne jest przy tym sporządzenie szeregu wykresów różnych funkcji. Można zrobić wykres podanej tabeli i zobaczyć, do jakiego wykresu jest on najbardziej podobny.

Na rozwiązanie naszego problemu może nas naprowadzić porównanie wyniku dla X — 1 z wynikiem dla x ~ 2. Wartości x = 1 odpowiada w czwartej kolumnie wartość 0,414, a wartości x = 2 — wartość 0,21/2. Otóż 0,2112 to w przybliżeniu połowa wielkości 0,414. To sugeruje, że x = 3 będzie odpowiadać jednej trzeciej wielkości 0,414, x = 4 — jednej czwartej itd. Wartości x =10 powinna odpowiadać jedna dziesiąta wielkości 0,414, czyli 0,0414. Tabela podaje wartość 0i/043, niewiele różniącą się od 0,0414. Wartości x =1,5 powinno odpowiadać 0,414 podzielone przez 1,5, tj. liczba i0,2ffi6. Tabela podaje wartość 0,280, a więc bardzo bliską przewidzianej; przy tak prymitywnej metodzie trudno byłoby spodziewać się większej zgodności.

Zastosowane rozumowanie sugeruje więc, że y' odpowiadające wzorowi y = log x jest wyrażeniem zbli-

.    0,414

zonym do --

x

Wynik ten należy traktować jako pewnego rodzaju wskazówkę. Sugeruje ona, że należy wrócić do wyjaśnienia logarytmu podanego w rozdziale 6 i spróbować zobaczyć, czy istnieje jakiś oczywisty powód, dla którego log x powinien rosnąć z prędkością proporcjonalną do — . W rzeczywistości taki powód istnieje

i można wykazać, że prawdziwą odpowiedzią na nasze 0 434294...

pytanie jest —-—. Przybliżona metoda wskazała

x

postać odpowiedzi i dała wynik bliski prawdziwemu. (W rozdz. 5. wyjaśniliśmy sens wyrażenia 1G^X. Jaki jest wzór na y', jeżeli y = HF?)

Jak Czytelnik sobie zapewne przypomina, wspo-

207