CCF20090120144

15

PIERWIASTEK KWADRATOWY Z MINUS JEDNOŚCI

„Rozpowszechniona jest opinia, że stosując matematyką trzeba najpierw zrozumieć uzasadnienie danej metody, zanim przystąpi się do stosowania jej w praktyce. Otóż są to kompletne banialuki. Znam procesy matematyczne, które z powodzeniem stosowałem przez długi okres czasu, przy czym ani ja, ani nikt inny nie rozumiał ich formalno-logicznego uzasadnienia. Wrosłem w te procesy i w ten sposób zrozumiałem je”.

01iver Heayiside

Pod koniec rozdz. 5 stwierdziliśmy, że kwadrat każdej liczby ma znak + , tak że nie może istnieć liczba, której kwadrat byłby równy — 1. Można by oczekiwać, że sprawa ta na tym się kończy i że matematycy uznają, iż każde zagadnienie prowadzące do równania x² — — 1 jest pozbawione sensu i nie ma rozwiązania.

Ale stała się rzecz dziwna. Od czasu do czasu matematycy zauważali, że mogliby znacznie skrócić pracę i otrzymać poprawny wynik, gdyby w trakcie pracy używali symbolu i, przyjmując, że i² == —1, d gdyby pod każdym względem traktowali i tak, jakby to była zwykła liczba. Po raz pierwszy dokonano tego ok. 1572 r. Ludzie, którzy to robili, byli bardzo niepewni metody, ale jej całkiem nie odrzucali, gdyż dawała poprawne wyniki. Nikt nie wiedział, dlaczego tak było, ale nowy symbol i okazał się tak użyteczny, że przez "dwa stulecia matematycy używali

go, nie mając dlań żadnego uzasadnienia oprócz pożytku, jaki przynosił. Dopiero w 1800 r. podano logiczne wyjaśnienie znaczenia i.

Jeżeli potraktujemy chwilowo i jak zwykłą liczbę, to będziemy mogli zobaczyć, jakiego rodzaju wyniki otrzymywali osiemnastowieczni matematycy.

W rozdz. 14 znaleźliśmy szeregi dla e^x, cos x i sin x. Czytelnik zapewne zauważył, że w szeregach tych występują te same liczby. Istotnie, jeżeli weźmiemy szereg dla e^x:

⁺ł^x3+s^x4+

ird^x5+'?ió^x6+--

i opuścimy co drugi wyraz:

x⁽ⁱ -j-...

a następnie umieścimy znaki + i — na przemian:

720

1 _a, ¹ ₄ T^X+2i^X

to otrzymamy szereg dla cos x. Podobnie siń x odpowiada drugiej połowie wyrazów.

Korzystając z oznaczenia i możemy wyrazić relację zachodzącą pomiędzy tymi trzema szeregami w postaci krótkiego wzoru.

Przypuśćmy, że x ma wartość ia, gdzie a może być dowolną liczbą. Podstawiając x = ia w szeregu dla e^x otrzymujemy:

e^ia - lH-m+~i²a²d--~i³a³+^-ż⁴a⁴ + ...

2    o 24

Wiemy, że i² = — 1; stąd i³ = i • i² — —i; i* = ~ i² • i² — (— 1) * (—1) = +1. Podobnie, wszyst-

19* 291