CCF20090321012

lnu z ‘Inp, to jest pierwiastkowi kwadratowemu z podwojonej liczby prawdopodobnej przypadków sprzyjających.    '

Doniosłym rezultatem teorii prób powtarzanych jest następujące twierdzenie: jeśli jednostka odchylenia u jest znana, wówczas prawdopodobieństwo tego, iż odchylenie przybierze wartość w granicach od — Xu do 4- Xu, zależy wyłącznie od liczbyA. Tak więc wszelkie zadania dotyczące prób powtarzanych, niezależnie od wartości liczb nip, ujawniają pewną zbieżność lub podobieństwo; wystarczy obli-" czyć, w oparciu o dane wyjściowe zadania, liczbę u, a dane te za pośrednictwem samej tylko liczby u wyznaczą rozwiązanie.

Liczbę X, dodatnią lub ujemną, nazywa się niekiedy odchyleniem luzględnym; iloczyn Xu bywa wówczas nazywany odchylaniem rzeczywistym lub bezwzględnym (którego nie należy mieszać z bezwzględną wartością odchylenia).

(II) podstawowe wiadomości o prawdopodobieństwie odchyleń względnych

W podręcznikach teorii prawdopodobieństwa można znaleźć tablice, które podają prawdopodobieństwa odchylenia względnego ńie przekraczającego danej liczby X. Przytoczymy jedynie drobny fragment takiej tablicy, zupełnie wystarczający dla tych zastosowań, jakie zamierzamy tutaj rozważyć.

Oto prawdopodobieństwa tego, że odchylenie h nie będzie zawarte pomiędzy —Xu a Xu, dla kilku wartości l rosnących w postępie arytmetycznym:

X ~ 1,15 prawdopodobieństwo IG"¹ X = 2,30    „    .    10-*

X = 3,45    „    10 ®

X = 4,60    „    10“¹⁰

Przyznamy się od razu, że aby nadać tej tablicy prostszą i łatwiejszą do zapamiętania postać, zmieniliśmy nieznacznie wartości 1; di a zastosowań, jakie nas interesują i w których ważną rzeczą jest jedynie rząd danej wielkości, te świadome odstępstwa są bez znaczenia. Ci spośród naszych Czytelników, którzy zechcą dokonać ścisłych obliczeń, będą musieli sięgnąć po tablice funkcji zwanej & (A).

Prawdopodobieństwa, jakie odpowiadają uwzględnionym w naszej tablicy wartościom X równe są odpowiednio jednej dziesiątej, jednej tysięcznej, jednej milionowej i jednej dziesięciomilionowej. Zobaczymy, że dla zdarzenia przeciwnego (tj. dla odchylenia zawartego pomiędzy —• Au a -f Au) prawdopodobieństwa te odpowiadają różnym stopniom pewności, od zdarzenia zupełnie prawdopodobnego poprzez bardzo prawdopodobne i niezmiernie prawdopodobne do zdarzenia .pewnego,

(12) zastosowanie uzyskanych wyników do problemu ruiny graczy

Zastosujemy teraz te rezultaty do problemu ruiny graczy, którym długie lata pasjonowali się teoretycy prawdopodobieństwa. Przekonamy się, że jeśli gra jest sprawiedliwa, zrujnowanie to, mimo iż zgodnie z przewidywaniami matematyków nieuniknione, dokonuje się wszakże nazbyt p woli, aby ten, kto nie uprawia gry zanadto ryzykownej, miał powody do niepokoju.

Rozważmy rzecz na przykładzie gry w orła i reszkę; załóżmy, że dwaj gracze ustalili raz na zawsze stawkę gry, która wynosi, dajmy na to, 1 frank. Czytelnik może pomnożyć tę skromną sumę przez 10,100, 1000, byleby tylko pomnożył o tę samą liczbę rezultaty, jakie tu otrzymamy. Te same rezultaty stosować się będą, oczywiście, i do gier bardziej złożonych niż gra w orła i reszkę, pod tym tylko warunkiem, że szanse obu graczy będą zawsze równe, Dotyczy to na przykład gracza, który stale stawiałby na czerwone lub na czarne, na

29