CCF20090120150

W ten sam sposób można zbadać operację 2 + 3i. Wisiorek A może rozpocząć drogę z dowolnego punktu papieru, powiedzmy z punktu K (ryc. 54). Musimy zbadać operacje 2 i 3i oddzielnie, a następnie dodać je metodą „stykania się końców”.

Operacja 2 przesuwa A z punktu K do punktu L. Operacja 3i .działająca na A oznacza, że O A należy obrócić o 90° i powiększyć trzykrotnie. Tak więc operacja 3i przesuwa A z punktu K do punktu M. Teraz odcinek OM trzeba odłożyć na końcu odcinka OL. Rysujemy odcinek LN równy odcinkowi OM i skierowany tak samo jak OM. N jest szukanym przez nas punktem. Operacja 2 + 3i przesuwa A z punktu K do punktu N.

K można obrać gdziekolwiek. Moglibyśmy wyznaczyć K w różnych .położeniach i oznaczyć, gdzie znalazłby się odpowiadający mu punkt N. Zauważylibyśmy, że kąt KON jest zawsze taki sam i że ON jest zawsze w tym samym stosunku do OK. Inaczej mówiąc, gdziekolwiek znajduje się wisiorek A, operacja 2 + 3i obraca O A o ten sam kąt i wydłuża O A tę samą liczbę razy.

Możemy operację a+bi przedstawić jako obrót o pewien kąt i następujące po nim wydłużenie. Łatwo stwierdzić, że jeśli a+bi odpowiada obrotowi o kąt 0 i wydłużeniu r razy, to a = r cos 0 i b = r sin 0. Jeżeli mamy dane a i b, to możemy znaleźć r i 0 graficznie, rysując trójkąt prostokątny o bokach a a b. Wielkość r nosi nazwę modułu, a 0 argumentu (czasem amplitudy) operacji a + bi. Te dwie wielkości otrzymały specjalne nazwy, gdyż wielkości te powstają w sposób naturalny i występują często we wzorach; oszczędzamy więc czas dając im nazwy.

Teraz Czytelnik może już sam zająć się tymi operacjami. Pokazaliśmy na przykładzie symboli 1-f-i i 2 + 3i, jak znaleźć operację reprezentowaną przez jakikolwiek symbol o postaci a + bi.

Wiemy już, co ten symbol wyraża, i nabranie wprawy w przeprowadzaniu takich operacji zależy tylko od nas samych. Co rozumiemy przez operacje l + 2i, 1—i, — 3i? Jeżeli dokonano kolejno dwóch operacji, to czy ważne jest w jakiej kolejności je wykonano? Czy (2) (i) to to samo co (i) (2)? Czy (1+i) (l + 2i) to to samo co (l + 2i) (1+i)? Dokonując operacji geometrycznych należy znaleźć pojedynczą operację, która daje ten sam wynik co (l + 2i) (1 + i). Jaki jest moduł operacji i? A moduł operacji 3 + 4i? Co to za operacja —i? Czy (i) (i) = (—i) ( — i)? Co to jest (i) (—i)? —i oznacza operację ( — 1) (i).

Gdy nadaliśmy symbolom określone znaczenia, nie mamy już nad nimi żadnej władzy. Możemy zdecydować, jak nazwać daną operację, ale gdy już wybraliśmy nazwę, to pozostaje nam tylko obserwować, jak dany operator faktycznie zachowuje się. Otóż właśnie znaleźliśmy się na tym etapie. Pewnym operatorom nadaliśmy nazwy 1, 2, 3,... oraz i, wyjaśniliśmy, co rozumiemy przez to, że dwa operatory napisane są obok siebie albo połączone znakiem + lub —. Dzielenie należy rozumieć jako działanie odwrotne do mnożenia. Nie nadaliśmy jeszcze tylko sensu symbolowi e^x, do czego dojdziemy później. Jeśli jednak chodzi o dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, to wszystko jest już ustalone. Nie możemy przyjąć, że te nowe znaki podlegają tym samym prawom, co zwykłe liczby; nie są to bowiem zwykłe liczby. Musimy sprawdzić, czy podlegają 'One tym prawom.

Nie możemy np. przyjąć, że (2) (i) to to samo co (i) (2). W rzeczywistości (2) (i) jest równe (i) (2), ale musimy się o tym sami przekonać przez sprawdzenie. W przypadku niektórych operatorów kolejność ich stosowania ma wpływ na ostateczny wynik. Efekt pobicia, a następnie zabicia jest inny niż efekt zabicia, a następnie pobicia.

Interesującą sprawą dotyczącą operatorów,

303