CCF20090120151

którymi się tu zajmujemy, jest to, że zachowują się one jak zwykłe liczby. Jeżeli weźmiemy jakikolwiek wzór, który jest prawdziwy dla zwykłych liczb, to będzie on także prawdziwy dla tych operatorów. Na przykład, gdy x jest zwykłą liczbą, wówczas {x^Jrl) (x— 1) = x²~ 1. Jeżeli na miejsce x podstawimy dowolny operator a+bi, to przekonamy się, że wynik ten (podany grubym drukiem) jest nadal prawdziwy. Podstawiając np. i na miejsce x stwierdzimy, że wynik (i + 1) (i—1) ~ i²—l jest prawdziwy. Ponieważ i² = —1, więc i²—-1 = — 2. Można przekonać się, że wynikiem kolejnego wykonania operacji i—1 i i+1 jest podwojenie długości odcinka O A i obrócenie go o 180°; a więc jest to właśnie to, czego dokonuje operacja —2.

Czytelnik może się również przekonać, że nie ma znaczenia, w jakiej kolejności wykonuje się mnożenie ani w jakiej kolejności symbole dodaje się do siebie. i2 oraz 2i mają dokładnie to samo znaczenie (mnożenie oznacza, że dokonuje się operacji jednej po drugiej); i + 1 ma to samo znaczenie co 1 + i (nie jest ważne, który odcinek odkładamy na końcu drugiego odcinka). Krótko mówiąc, każda reguła, która jest prawdziwa dla zwykłych liczb, jest także prawdziwa dla tych operatorów.

Jest to bardzo wygodne. Często gdy rozpoczynamy badać nowy typ operacji, znajdujemy zupełnie nowe dla nas prawa. Każdy typ operacji zachowuje się w swój własny, szczególny sposób, do którego musimy się przyzwyczaić. Ale dla operatorów a+bi nie musimy uczyć się żadnych reguł. Zachowują się one dokładnie tak, jak gdyby były liczbami; wprawdzie w istocie nie są liczbami, ale mają z liczbami tyle wspólnego, że dla większości celów można je traktować jak liczby. Matematycy nazywają je zazwyczaj liczbami zespolonymi dla uwypuklenia, że są one bardzo ściśle związane ze zwykłymi liczbami. Jeżeli dokonując pewnych rachunków traktujemy i tak, jakby to była zwykła liczba, to otrzymujemy poprawny wynik.

Z drugiej strony, traktując i jako operator często możemy otrzymać wynik szybciej niż stosując metody zwykłej arytmetyki. Przypuśćmy, że mamy rozwiązać równanie x² = i. Wiemy, że i oznacza obrót o kąt prosty. Mamy więc odpowiedź na pytanie: jaka operacja x dokonana dwukrotnie daje ten sam wynik co operacja i? Odpowiedź jest oczywista: obrót o połowę kąta prostego. Operacja ta nie daje żadnego wydłużenia, więc jej moduł r ='l. {Brak wydłużenia nie oznacza, że r = 0. Długość O A zostaje pomnożona przez r. Jeżeli O A pozostaje niezmienione, znaczy to, że r = 1.) Ponieważ kąt © jest połową kąta prostego, więc łatwo zauważyć, że liczby a i b muszą być równe 0,707 i 0,707 (z tablicy sinusów i cosinusów), a operacja a+bi, która oznacza obrót o połowę kąta prostego, wynosi 0,707 + 0,707i. (Należy sporządzić rysunek i sprawdzić na nim nasze rozumowanie. Wynik ten należy także sprawdzić za pomocą zwykłej arytmetyki, traktując i tak^ jakby to była zwykła liczba.)

LICZBY ZESPOLONE I ELEKTRYCY

Łatwiej teraz zrozumieć, dlaczego elektrycy tak często korzystają z operatora i. Każdy generator prądu elektrycznego zawiera obracające się części, które w ciągu każdej minuty obracają się o wiele kątów prostych; a więc wielokrotnie stosuje się do nich operację i.

Jest możliwe, i dla studiujących elektryczność ciekawe, wyjaśnienie operatora i jedynie w oparciu o zwykły generator prądu zmiennego. W celu uproszczenia rozumowania matematyczne-

305

20 Matem, nauką przyj.