CCF20140608002

2.2. Odwzorowania zwężające 25

Rys. 2.1. Choinka - wynik opisanego powyżej doświadczenia numerycznego

where [7], Teoria ta bazuje na klasycznym twierdzeniu Stefana Banacha o odwzorowaniach zwężających. Przypomnimy więc najpierw tzw. zasadę odwzorowań zwężających, której dowód można znaleźć w dowolnym podręczniku analizy funkcjonalnej lub w książkach o rozwiązywaniu równań, np. w [41], [40].

2.2. Odwzorowania zwężające

Od dawna znana jest w matematyce metoda rozwiązywania równania x = f(x), polegająca na tworzeniu ciągu kolejnych przybliżeń

x₀, x_lr    (2.5)

gdzie xq jest dowolne, a x_n+\ = f(x_n). Ciąg ten często bywa zbieżny do rozwiązania Xco równania x = f(x).

Jeśli mamy równanie z jedną niewiadomą (jeśli x i f{x) należą do zbioru liczb rzeczywistych), to zbieżność ciągu łatwo interpretować geometrycznie. Na rysunku 2.2 oznaczono numerem n (gdzie n = 0,1,2,...) taki punkt, którego obie współrzędne są równe n-temu wyrazowi x_n ciągu (2.5). Wystarczającym warunkiem zbieżności ciągu jest dostatecznie silne ograniczenie nachylenia wykresu funkcji /(x), a dokładniej sup_x \df{xj/dx\ < 1.

Taka sama metoda kolejnych przybliżeń bywa stosowana przy rozwiązywaniu równań z wieloma niewiadomymi, a również równań całkowych, operatorowych i innych. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach zwężających podaje ogólne założenia, przy których ciąg (2.5) jest zbieżny do rozwiązania równania * = /(*)•

Niech X będzie zbiorem elementów (dowolnej natury, np. liczb rzeczywistych lub zespolonych, punktów przestrzeni n-wymiarowej, funkcji, figur geo-