CCF20140608013

5.2. Przykłady obliczania wymiaru 55

Powtarzając to samo rozumowanie dla kilku poznanych już fraktali, otrzymujemy

d( zbiór Cantora)    = log 2/ log 3 = 0,630929753...

d{gwiazdka von Kocha) = log4/ log3 = 1,261859507...

^(gwiazdka śniegu) = log 7/ log 3 = 1,771243749...

d(dywan Sierpińskiego) = log 8/ log 3 = 1,892789261...    □

Przykład 5.2. Oznaczmy przez znps atraktor układu IFS (rys. 3.1) określonego w przykładzie 3.1 przez odwzorowania (3.4). Nazwę tę (znps - zbiór niezmienniczy podkowy Smalę'a) rozszyfrujemy w rozdziale 8. Jego wymiar zależy od parametru A i wynosi

d(znps) — lim

n—rOO

log(4")

log(l/A")

iog⁴

log(l/A)

(5.5)

Jeśli wartość parametru A maleje od 0,5 do zera, to wymiar d(znps) maleje od 2 do zera, a w szczególności jest równy jeden dla A = 1 /4.

Obiekt geometryczny o wymiarze równym jeden może być zupełnie niepodobny do linii, natomiast niektóre krzywe linie (np. krzywa von Kocha) mogą mieć wymiar większy od jedności. Warto w tym miejscu przypomnieć, że krzywą (lukiem) nazywamy zbiór punktów homeomorficzny z domkniętym odcinkiem, to znaczy że istnieje wzajemnie jednoznaczne i wzajemnie ciągłe przyporządkowanie punktów krzywej punktom odcinka.    □

Przykład 5.3. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej dana jest kostka (sześcian) o boku równym jeden. Podzielimy ją na 27 jednakowych kostek (3 warstwy po 9 kostek). W środkowej warstwie pozostawimy tylko jedną środkową kostkę, a w bocznych warstwach tylko cztery narożne kostki, pozostałe usuniemy (rys. 5.2). W drugim kroku iteracji zrobimy to samo z każdą z 9 kostek, w następnym - to samo z każdą z 81 kostek itd. Pozostanie nam zbiór, który nazwiemy fraktalem iks3. Jego wymiar wynosi d{iks3) = 2. Łatwo zauważyć, że w każdym kroku iteracji zbiór kostek

•    zachowuje spójność,

•    3-krotnie zmniejsza objętość,

•    zachowuje powierzchnię,

•    3-krotnie zwiększa sumę długości krawędzi,

» 8-krotnie zwiększa liczbę wierzchołków.

Domknięcie zbioru tych wszystkich wierzchołków jest właśnie fraktalem iks3.

Rzut fraktala iks3 na dowolną z płaszczyzn równoległych do boków danego na wstępie sześcianu jest płaskim fraktalem iks2, którego obraz pokazano z prawej strony na rysunku 5.2. Czytelnik z pewnością łatwo odgadnie układy IFS, których atraktorami są fraktale iks3 i iks2, i sprawdzi, że d{iks 2) = log 5/ log 3 = 1,464973521...    □