CCF20140608015

5.2. Przykłady obliczania wymiaru 57

Przykład 5.5 (piramida Sierpińskiego). W trójwymiarowej przestrzeni eu-klidesowej ze współrzędnymi x, y, z rozpatrzmy układ IFS z czterema odwzorowaniami

x' = Ax    x' =    Ax + 2    x' =    Ax + 1    x'    = Ax + 1

y' = Ay    y^{/ =}    Ay    y'    =    Ay+>/3    y'    = Ay + l/V3

z' — Az    z' =    Az    z'    =    Az    z'    = Az + a/3

gdzie A = 1 /2.

Jeżeli A o jest czworościanem foremnym (którego jedna ze ścian leży w płaszczyźnie z = 0, a jedną z krawędzi jest odcinek x G [0,4], y = 0, z = 0), to pierwsze dwa wyrazy Aj i ciągu kolejnych iteraqi układu IFS są pokazane na rysunku 5.4. Atraktorem Aco układu IFS jest piramida Sierpińskiego.

Rys. 5.4. Konstruowanie piramidy Sierpińskiego

Przecięcie atraktora Aoo z brzegiem czworościanu A o składa się z czterech trójkątów Sierpińskiego ułożonych w przestrzeni w piramidę. Łatwo zauważyć, że powierzchnia czworościanu Aq zostaje zachowana w każdym kroku iteracji układu IFS i wszystkie podzbiory A; mają tę samą powierzchnię. Nietrudno też sprawdzić, że wymiar (/(piramida Sierpińskiego) =2.    □

Przykład 5.6 (doświadczenie Richardsona). W 1961 roku Lewis Fry Richard-son zamierzał zbadać, ile wynosi długość brzegu Wysp Brytyjskich. Różne encyklopedie podawały znacznie różniące się liczby.

Przyjął on, że długość linii brzegowej jest długością najkrótszej linii łamanej złożonej z odcinków o długości A i takiej, że punkty załamania leżą zawsze na brzegu wyspy (rys. 5.5). Zamiast odcinków można wziąć kwadraty lub koła o średnicy A, których suma pokrywa linię brzegową. Długość brzegu wynosi wtedy L(A) = AN(A), gdzie N(A) jest liczbą odcinków linii łamanej. Gdyby mierzyć w ten sposób długość krzywej gładkiej (mającej ciągłą styczną), to przy A —> 0 istnieje skończona granica wyrażenia L(A). Okazało się jednak, że jeśli A maleje, to liczba odcinków N(A) rośnie szybciej niż dla krzywej gładkiej. Zachodzi proporcjonalność N(A) ~ A^-d, gdzie d > 1. Dla zachodniego wy-