CCF20130522013

152

wyrazów z c.o.sn</>, siun(j), n > 2, to otrzymamy

OO

l) ('/’, 0, Z) —    ^ ^ t/o (^m,0^*) ^m,0 COS cA_m o^

m=l oo

+ ^ J\ (A_miir) (ai cos 0 + 6 sin 0) c^i cos c\_myit.

m= 1

Stąd porównując współczynniki (dla t = 0) odpowiednio przy 1, cos0 i sin 0, dostaniemy

oo

A. (r) o? = CmfiJo (A^oO j

m=l

oo

A(r)P = ai £ Cm, 1*A (Am,!!^-) ,

m=l

OO

A(r)j = bi £ Cm^Ji (A_m,ir).

m=l

Aby wyznaczyć Ck,o dla A; = 1,2,..., mnożymy obie strony pierwszej z tych równości przez rJ₀ (Ak,of) i całkujemy od 0 do R. Na podstawie tw. 2 (ii) dodatku G otrzymamy

Cfc.O

2a

J\ (Afc.o-R)

rA (r) J₀ (A_Mr) dr.

Podobnie mnożąc drugą (lub trzecią) równość przez r Jj (A^r) i całkując od 0 do i? znajdziemy

R

aiCfc.i —

_Klr)4r.

0

Oczywiście

(3bi = yai

i stąd można znaleźć b\. W ten sposób znajdziemy kandydata na rozwiązanie badanego problemu - sumę szeregu. Pozostanie problem jego zbieżności i zbieżności szeregu pochodnych. Ponieważ funkcje Jo i J\ są ograniczone, więc jeśli

OO

^ ^    ^m,i ^    ^    0, 1,

771=1

to v będzie szukanym rozwiązaniem. Kwestią, przy jakich założeniach o funkcji A tak jest, zajmować się nie będziemy.

Ćwiczenie 17. Pokazać, że problem brzegowy dla równania Helm-holtza

u_xx + u_yy + A²u = 0 dla (x, y) G B (0, R), u\dB{0,R) = h,

posiada rozwiązanie dla A ^ t_min/R, gdzie t_m<n oznacza ciąg dodatnich miejsc zerowych funkcji J_n, przy każdej ciągłej funkcji h. Dla jakich h rozwiązanie istnieje, jeśli A = t_miJl/R?

Ćwiczenie 18. u_t = a²{u_rr + ^u_r), u(R,t) = a, u(r, 0) = 0, lim u (r, t) istnieje.

i—>o+

Problem ten opisuje rozkład temperatury w nieskończonym walcu o promieniu R przy założeniu, że powierzchnia boczna ma stałą temperaturę a, a w chwili początkowej temperatura w każdym punkcie walca wynosi 0. Zakładamy też, że rozwiązanie zależy tylko od odległości r od osi walca i czasu t (por. zadanie 143 w [SmiJ, gdzie można znaleźć dużo zadań pochodzących z fizyki).