Image04

6

ZADANIA

I. MECHANIKA KLASYCZNA 1. KINEMATYKA

1.1. Dwie cząstki zostały wysłane z początku układu współrzędnych i po pewnym czasie ich położenia opisano wektorami:

r i = 4 T + 3 j + 8 £    [m],

r₂ = 2 i + 10 j + 5 Ic    [m],

gdzie: i, j, £ są wersorami. Znaleźć:

a)    długość każdego wektora,

b)    wektor położenia cząstki drugiej względem cząstki pierwszej,

c)    kąty między wszystkimi parami tych trzech wektorów,

d)    rzut wektora r₂ na r_l.

1.2. Dwie cząstki poruszają się w prostokątnym układzie współrzędnych z prędkościami: v_v = 2 i [m/s] iv₂ = 3j[m/s]. W chwili t = 0 cząstki te znajdują się odpowiednio w punktach o współrzędnych: x_x = — 3 [m],    = 0 [m] oraz

*2 = ⁰ M. y₂ =    [m].

a.    Znaleźć wektor określający położenie cząstki pierwszej względem drugiej.

b.    Wyznaczyć czas oraz położenia cząstek w chwili ich największego zbliżenia.

1.3. Równania ruchu dwóch punktów, obserwowanych z danego układu współrzędnych, wyglądają następująco:

r_t (t) = (0, 2, 0) + (3, 1, 2) t + (1, 1, 0) t² [m], r₂(t) = (1, 0, 1) -f (0, 2, 1) t    [m].

Znaleźć:

a)    prędkość punktu drugiego względem pierwszego,

b)    przyspieszenie punktu drugiego względem pierwszego.

1.4. W ciągu czasu t_{ wartość prędkości ciała z]

II

lenia się wg wzoru

gdzie: a i b ciągu czasu

są stałymi dodatnimi. Jaka jest średnia wartość prędkości ciała

t. ?

w

1.5. Odcinek AB o stałej długości porusza się tak, że jego punkty końcowe A i B ślizgają się po osiach x, y prostokątnego układu współrzędnych. Wyznaczyć tor, jaki będzie zakreślał przy tym ruchu dowolnie obrany punkt M na odcinku

AB.

1.6.    Z powierzchni Ziemi wyrzucono piłkę pionowo do góry z prędkością v₀. Równocześnie z wysokości, na jaką wzniesie się piłka, zaczyna spadać w dół kamień z tą samą prędkością v_a. Obliczyć po jakim czasie i na jakiej wysokości te ciała miną się, a także prędkości obu ciał w chwili mijania. Zaniedbać opór powietrza.

1.7.    Środek jabłka znajduje się w odległości d od obserwatora, pod kątem widzenia a. Pod jakim kątem [i należy wystrzelić pocisk, aby przy prędkości początkowej v₀ trafił w środek jabłka, które w chwili wystrzału zaczyna swobodnie spadać. Opór powietrza pominąć.

1.8.    Ciało wyrzucono pod kątem a do poziomu z prędkością początkową v_a. Zaniedbując opór powietrza i przyjmując wartość przyspieszenia ziemskiego g, znaleźć:

a)    równania ruchu ciała,

b)    równanie toru ciała,

c)    wartość promienia krzywizny toru p w zależności od odciętej x położenia ciała.

Przedyskutować wartości promienia krzywizny dla przypadków: y = 0 i

y = ^Hmaks.

1.9.    Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v_L, prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem

=

v_a sm

n y

~L’