mechanika klasyczna egzamin10 02 06

II rok: Mechanika

Egzamin pisemny

6 luty, 2010

1    Cząstka o masie m porusza się po ustalonej płaszczyźnie w newtonowskim polu grawitacyjnym pochodzącym od nieruchomego źródła o masie M, które znajduje się w odległości b od płaszczyzny.

(a)    Napisać lagranżjan i równania ruchu.

(b)    Znaleźć całki ruchu.

(c)    Wyznaczyć zależność częstości od promienia dla orbit kołowych.

2    Klocek o masie M — 3m, połączony z nieruchomymi ściankami dwiema jednakowymi sprężynami o stałej sprężystości k, porusza się po bez tarcia po poziomej prostej. Do klocka przyczepione jest wahadło matematyczne o długości l i masie m. Zakładając, że kl = 2mg, napisać ogólne rozwiązanie w przybliżeniu małych drgań.

3 Układ o jednym stopniu swobody jest zdefiniowany hamiltonianem

^H = -^2 Cp ~ ^)² - U + \)(p -⁽i)~ & ■

(a)    Pokazać, że transformacja Q = P = — (t — l)q — p jest kanoniczna.

(b)    Wyznaczyć hamiltonian we współrzędnych Q i P i korzystając z otrzymanego wyniku znaleźć rozwiązanie równań ruchu z danymi początkowymi q(t = 1) = 1, p(t = 1) = 1.

4 Sformułować i udowodnić twierdzenie Noethcr dla transformacji niezależnych od czasu. Korzystając z tego twierdzenia znaleźć całkę ruchu (inną niż energia) dla cząstki o masie m poruszającej się w potencjale V(p, <fi + z), gdzie (p, </>, z) są współrzędnymi cylindrycznymi.

5 Układ o dwóch stopniach swobody posiada hamiltonian H(qi,q2,p\,p2)-

(a) Pokazać, że pełna pochodna po czasie dowolnej funkcji u — u(qi,q2,PhP‘2,t) może być przedstawiona w postaci

du

dt

{u,H} +

du

dt

gdzie {A, B) jest nawiasem Poissona.

(b) Korzystając z a) pokazać, że jeśli hamiltonian ma postać H = H(f(qi,pi),q2,P2), to wielkość f(qi,pi) jest całką ruchu.

6 Co to jest niezmiennik adiabatyczny? Znaleźć niezmiennik adiabatyczny dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego.