Image48

94

I

L =

i m x² (1 + tg²a)

mgx tga =

m

2 cos²a

x — mgx tga

Stąd

dL

dx

= -mg tga,

d /dli

m

i

dt \ćbc

cos²a

Podstawiając te wyrażenia do równania Lagrange’a mamy

1

x + - q sin2a 2

= 0

Całkując to równanie i uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy

x =

^ gt² sin2a + H ctga

Czas ruchu znajdujemy z warunku x(tJ = 0, czyli

U =

1

sina

2II

g

n

Czas ruchu jest najmniejszy przy a =

JLś

2.35. Obierając zmienną r jako współrzędną uogólnioną i uwzględniając, że

<P = -otrzymujemy funkcję Lagrange’a

2 J2

L = m (r² — co² r²),

gdzie

k

co

m

Stąd równanie Lagrange’a przybiera postać

r + o² r = 0.

Jest to równanie oscylatora harmonicznego nietłu niem jest funkcja

II

ionego. Jego rozwiąza-

r — A cos (wt + p),

która ma jednak sens jedynie dla r ^ 0.

Gdyby cząstka po dojściu do punktu r — 0 uległa sprężystemu odbiciu,

wówczas

r =

A cos (ot + P)\,

2.36. Układ przedstawiony na rys.29 ma dwa stopnie swobody. Jako współrzędne uogólnione obieramy kąty a_x i a₂. Energie kinetyczną i potencjalną układu wyrażamy przez wybrane współrzędne uogólnione.

Dla

1

1

1

2

2

E_pi    = ~m_lgz_l = —m,g/, cosaj.

Dla m

l_x sina! -I- l₂ sina₂,

x₂ = /i aj cosaj + l₂ a₂ cosa₂,

z₂ = /j cosaj + l₂ cosa₂,

z₂ = — (/j aj sinaj -f /₂ a₂ sina₂),

czyli

m

ki

2

² (*! + zD

"2

O² «’l + ²⁽1 ⁽2 “l *2 ^COS(^al ~ “2) + ^l2 «1),

E_p2 ⁼ ~^mi9^z2 ⁼ ~^mi9 (h cosaj + /₂ cosa₂).