img284

Interpolacja

Interpolacja - metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego.

Definicja

Niech dany będzie przedział ^ ®₀raz niech będzie dany skończony ciąg punktów fc=Oz tego przedziału,

a — x₀ < Xi < ... < x_n = 6.

Wyrazy ^0? - • • 5 ^powyższego ciągu nazywane będą węzłami.

Przypuśćmy także, że zadane są wartości Vk ^ ®dla & = 0, 1,.. ., fl p_ary (x_ky>_k) nazywa się punktami pomiarowymi.

Funkcję/określoną na przedziale [a,b] nazywamy funkcją interpolacyjną (również interpolującą) określoną w zadanych węzłach jeśli

f[xj) =yk dla wszystkich k — 0₁... pn

Jeśli dana jest funkcja^ * [®j &]    * ®oraz Vk ~ /^t{^.fc)dla każdego ^    0? ^3 • • ⁿ, to

funkcja interpolująca punkty pomiarowe (xi_c,yk) (dla & — 0,. .., Tl) _nioże być nazwana interpolacji funkcji /w węzłach    , %n.

Na funkcję interpolującą/nakłada się różne warunki prowadzące do różnych zadań interpolacyjnych tak, jeśli zażądamy aby/była określonej klasy, to mówimy wówczas o interpolacji funkcjami tej klas;

Interpolacja wielomianowa

Interpolacja liniowa

Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawąjest twierdzenie, że

Dla danych n + 1 punktów pomiarowych istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty.

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów xq i x\. Rozwiązaniem ¹ klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której -wykres przechodzi przez