lastscan105

6.8. Spłata długu przy oprocentowaniu prostym

Przedmiotem rozważań nadal jest dług o wartości K₍₎ w momencie 0 spłaiitm

ratami R_r j - 1.2.....n. Teraz jednak zakładamy, że od długu naliczane

odsetki proste, a nie składane, więc okresowa stopa i jest stopą oprocentowali prostego.

Podstawą analizy spłaty długu jest zasada równoważności długu i w momencie i, sformukwana zgodnie z zasadą równoważności kapiti w momencie /, przedstawioną w rozdziale 4.

Zasada równoważności długu i rat w momencie /

Dług o wartości K₀ w momencie 0 jest równoważny w momencie t ciągowi

rat o wartości R_r płatnych w' momentach j= 1.2.....n, jeśli kapitały

wzajemnie sobie przekazane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne

w momencie t.

W dalszych rozważaniach nie będziemy korzystać z warunku równow ażności długu i rat dla dowolnego momentu / € R. w ięc zapiszemy go tylko dla momcnióWj

0    oraz /». Przy aktualizacji wartości długu i rat posługujemy się wzorem (4.17) z rozdziału 4 lub wzorami (1.4) i (1.25) z rozdziału 1, dotyczącymi oprocentowaniu

1    dyskontowania prostego. Rata o wartości /?, w momencie j stanowi kapitał, który] dłużnik przekazuje wierzycielowi w- momencie j i którego wartość na moment | 0 obliczamy przez j-okresowe zdyskontow anie proste wartości /?,. na moment n zaś przezy-okresowe oprocentow anie proste. Dla momentu 0 warunek rów noważności! długu i rat ma zatem postać

(6 40H

(6.41).

*0= X +j‘T'

y-i

dla momentu n zaś

/C₀( I + ni)

I Rjd +J0-

j-i

■

Zasadę równoważności długu i rat w momencie n, czyli w momencie umorzeni długu, nazywa się zasadą kupiecką. Równość (6.41) jest formalnym warunkiei równoważności długu i rat odpowiadającym tej zasadzie.

Bez trudu zauważamy, że obustronne pomnożenie warunku (6.40) przez I + ni tylko w szczególnych przypadkach prowadzi do (6.41). zatem dług i raty równoważne w' momencie 0 na ogół nie są równoważne w momencie n. Dla Czytelnika, który pamięta z punktu 4.3 negatywne cechy równoważności kapitałów przy oprocentowaniu prostym, ten wniosek nie jest zaskoczeniem. Jest on bardzo istotny dlatego, że jeśli od długu nalicza się odsetki proste, to nierów noważne ciągi rat trzeba akceptować jako spłatę tego samego długu K_n przy tym samym

■Dccntowaniu danym okresową stopą /. Jak wiadomo z poprzednich kl/iału. takie sytuacje nigdy nie występują przy naliczaniu od długu odsetek fcd.inych. Z tego właśnie powodu współczesna matematyka finansowa rekomenduje Ek/anic zobowiązań dłużnika wobec wierzyciela na podstawie modelu wartości U.iłu w czasie i zasady równoważności kapitałów przy oprocentowaniu składanym, rgnujemy w związku z tym z dalszych teoretycznych rozważań związanych /ażnością długu i rat w momencie /, przechodząc do przykładów ujących praktyczne skutki naliczania od długu odsetek prostych.

1‘rzykład 6.16

>wnie zajmiemy się spłatą pożyczki omawianej w przykładach 6.1-6.7, [Wartości Kq = 5000 zł, udzielonej na początku roku i spłacanej w postaci Inych rat /?, = 2000 zł, R_: = 2600 zł, /?, = 0, R₄ = C zł. Ostatnia rata, Iczona przy oprocentowaniu składanym danym kwartalną stopą i = 6%. ma ość R₄ - 1008,99 zł. Schemat spłaty pożyczki przy tej racic jest podany w tabeli I (s. 197). W kolejnych punktach tego przykładu wyznaczymy wartość raty R* przy ilnej stopie oprocentowania prostego o takiej samej wysokości i = 6%, (Oparciu o zasadę równoważności długu i rat dla różnych momentów r.

a) Rozpoczynamy od wyznaczenia wartości raty R₄ zgodnie z warunkiem ). czyli dla równoważności długu i rat w momencie 0. Dla rozpatrywanej łyczki warunek ten ma postać

5000

2600

R<

2000

1+0,06 ⁺ 1+2 0,06 ' 1+4-0.06*

[czego wynika /?₄ = 981.81 zł.

Otrzymany w ten sposób ciąg rat jest w momencie 0 równoważny pożyczce. Be w momencie 1 nie jest jej równoważny, ponieważ lewa strona warunku (6.41) ina wartość

K_o(l+40 = 6200 zł.

R U strona prawa

/?,(!+ 30 + /?,(!+ 20 + R* = 6253,81 zł.

lówiąc inaczej, gdy patrzymy na spłatę pożyczki z perspektywy początku roku. tata Rą = 981,81 zł jest odpowiednia do umorzenia długu na koniec roku, ale gdy pojrzymy na to z perspektywy końca roku, ta rata okazuje się za wysoka o 53,81 zł. Zobaczymy teraz, co wynika ze schematu spłaty tej pożyczki przy racie I R_t - 981,81 zł, przedstawionego w tabeli 6.8. Konstrukcja tego schematu jest taka I sama jak w poprzednich punktach tego rozdziału, z tym źc w kolumnie /, obecnie I znajduje się wartość odsetek prostych, a nie składanych. Bez trudu zauważamy, że [ dwa początkowe wiersze tej tabeli oraz tabeli 6.1 są identyczne, ponieważ w pierwszym i drugim kwartale obliczanie odsetek prostych nie różni się od obliczania odsetek składanych. Trzeci wiersz wygląda już inaczej. Odsetki za

219