Matematyka 2 "9

228 IV ftóu nuiuu mzmczkou c rn ■\vzujae

2. RÓWNANIE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH. RÓWNANIE JEDNORODNE.

Równanie o zmiennych rozdzielonych Równanie różniczkowe pierwszego rzędu posiaci

(2.11    ^ = f<x>BÓ),

gd/ie l‘ i g są funkcjami ciągłymi na pewnych przedziałach (w szczególności mogą lo być przedziały niewłaściwe), a y = y(\) jest funkcją

niewiadomy, nazywamy rów naniem o zmiennych rozdzielonych Na przykład

y' = 2xy. y' = x^-(y+l), y’ = x-2. y* = y" I są takimi równaniami

TWIERDZENIE 2.1 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równaniu o zmiennych rozdzielonych). Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale (a.b), a funkcja g jest ciągła i różna od zera na przedziale (c.d). to dla dowolnej pary liczb (x_u,y„) takiej, że \„ e(a.b). y_n €(c.dl istnieje dokładnie jedno rozwiązanie y=y(x) równania (2.11 spełniające warunek y( x₀ )= y„ i jest ono określone wzorem

(2.2)    y = G (F(x)-F(x„)+G(y₀)).

gdzie F i (i są dowolnie wybranymi funkcjami pierwotnymi funkcji fi ~. Geometrycznie to oznacza, że przez każdy punki obszaru

D= {(x.y) eK^J: a<\<b a e<y<d|

przechodzi wtedy dokładnie jedna krzywa całkowa równania (2.11

Dowód . Niech (x„,y₀) będzie dowolnie ustalonym punktem obszam D. Przypuśćmy, że y-y(x), x e(u,P)c(a.b) jest rozwiązaniem równania (2.1) spełniającym warunek początkowy y(x„) = y_M. Wówczas dla x < (u.P) marny:

(U    y'(x)*f(x)g(y(x)).

czyli

12)	g(y(*))
a następnie
(3)	J'^N ~~~dx — [f(x)dx. Jg(>(x)) J »«
(4)	tó>" i^r(x,dx' >■ 'u
(5)	G(y)-G(y„) F(x)-F(x,

gilzie F i G są dowolnie wybranymi funkcjami pierwotnymi funkcji f i

I

£

7 założenia twierdzenia i równości (i'(v) = —-— wynika, że

g(y)

pochodna (i'(\) ma stały znak na przedziale (c.d). Funkcja G(y)jesl więc ściśle monotomezna. a zatem istnieje dokładnie jedna funkcja do niej odwrotna G'¹ W konsekwencji z równości (5) otrzymujemy wzór

y = G"'(K(x) F(x„)+G(y„)),

który'jednoznacznie określa rozwiązanie y = y( x)

I odwrotnie dla dowolnego punktu (x₀.y_o) e P funkcja y = y( x) określona powyższym wzorem spełnia kolejno równości od (5) do (I), a to oznacza, że jest rozw iązaniem równania (2.1 >. co kończy dowód

Z powyższego wynika, że y -y(x) jest rozwiązaniem równania (2.1) na pewnym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy

(2.3)    G(y)=F(x) + C.

przy czym stała C przyjmuje wartości z pewnego przedziału (stała l nie zawsze może przyjmować dowolne wartości - por. przykład 2.2). Jeżeli potrafimy rozwiązać efektywnie równanie (2.3) wzglądem y. to otrzymamy wzór

(2.4)    y = Ci '(F(x) + C)

określający rozwiązanie ogólne równania (2.1). Wzór (2.4) zawiera wszystkie rozwiązania tego równania w obszarze D