Matematyka 2 77

376 V. Elementy racJiuaku pruwdopodubtenstwa

a)    przeciętny czas bezawaryjnej pracy urządzenia, b) pr-stwo, źc urządzenie będzie pracować bezawaryjnie co najmniej przez 10 jednostek czasu

4.    ZL X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej F.X = 1/2. Wyznaczyć: a) kwantylc: x_tt2S, x₀₃, x_u7V

b)    pr-stwa: p, = P(X>l), p, =    Pj = P(-^<l).

5.    ZL U ma rozkład N(0;1) o dystrybuancie <I>.

a) Sprawdzić.źc P(|U|<a) = 2d>(a)-l,

b)    Wyznaczyć liczbę b spełniającą warunek P(U < b) = 0,99,

c)    Wyznaczyć liczbę b spełniającą warunek P(U>a) = 0,95,

d)    Wyznaczyć liczby a i b spełniające warunek P(a < U < b) = 0,95,

e)    Wyznaczyć najkrótszy przedział (a,b) spełniający warunek P(a<U<b) = 0,95,

0 Wyznaczyć najdłuższy przedział (a.b) spełniający warunek P(a<U<b) = 0,95.

6.    ZL X ma rozkład N(3.2). Wyznaczyć pr-stwa:

p, = P(X<3), p_: = P(l<X<3). p, = P(|X-3j<I).

p, = P(|X|>l), p, = P(X^J-X>0).

Podać interpretację geometryczną znalezionych pr-stw na wykresie GP ZL X,

7.

ZL X ma rozkład N(p,o). Sprawdzić, że

P(|X-p|<ka)=P(p-ka<X<pr ko)

0,6827 gdy k = l 0,9545 gdy k = 2 0.9973 gdy k=3

Ostatnia równość jest podstawą sformułowaniu tzw. reguł} trzy-sigmowej: jeżeli ZL X ma rozkład N(p,o). lo zdarzenie "zmienna ta przyjmie wartość z przedziału (p-3<j,p+3o)"jest praktycznie pewne.

Dokonując pomiaru popełniamy z nadmiarem błąd systematyczny 1 cm i błąd losowy X. Zakładając, że X ma rozkład N(0;0,3) obliczyć: a) wartość przeciętną całkowitego błędu pomiaru, b) pr-stwo, źc co do modułu całkowity błąd nie przekracza 1,5 cm

Odpowiedzi

2 P(XS3) = 0,375.    3. a) KT=I/X = 5, b) P(TZ 10) = c‘^J *0,14

4 u) x_p =ydn(l-p), x₀₂s*0.!4. x_0>3 *0.35. x_o,7s*0.69, b) p, =e‘^: *0.14 ,

P; = l-e'² *0.86, pj = l

5. b) b~u_aOT-2.33; c) a = u_ulłJ = -u_a.„ = -l.64. dłjcsl nieskończenie wiele przedziałów spełniających dany warunek, np. przedziały z punktów c) i f); c)(-1,96; 1,96), (por rys 6 4);    0 (-l.64;x) lub (-«;l.64).

6 p, =0.5; p_: =0,34; p₁=0.38. p₄ =0.86; p_s = 0.9l 8 a) E(X+I)=I; b) P(|X♦ l|<L5)=<1*1.67)-4*-8.33)%0.95

7. WEKTORY LOSOWE.

Rozważane do tej pory jednowymiarowe ZL są modelami dla doświadczeń, których poszczególny wynik może być opisany jedną liczbą rzeczywistą x Modelami dla doświadczeń, w których opis pojedynczego wyniku wymaga ciągu (Xj,x₂.....x_n) liczb rzeczywistych są

n-wymiarowe wektory losowe.

Wektory losowe i ich rozkłady prawdopodobieństwa. Ciąg (X|,X₂,...,X_n) jednowymiarowych ZL

X,,X₂.....X_n określonych na wspólnej PP (fi.^.P) nazywa się n-

wymiarowym wektorem losowym (WL) lub n-wymiarową ZL.

Niech dla ustalonego co eO X|(co) = X|.X₂(ti))= x₂.-*. X_n(to) = x_n. Zatem: n-wymiarowy WL (X,.X₂.....X_n) każdemu zda

rzeniu elementarnemu co gQ przyporządkowuje punki (x,.x₂...„x_n)GRⁿ.

Ograniczamy się do omówienia dwuwymiarowych WL (X,Y) Wektor laki każdemu zdarzeniu elementarnemu w eO przyporządkowuje parę (x,y) liczb rzeczywistych, czyli punkt na płaszczyźnie R^;

Gdy AcR^:, to zapis (X,Y)eA odczytujemy: "WL (X.Y) przyjmie wartość ze zbioru A" Z relacjami postaci (X.Y)eA chcemy skojarzyć pr-stwo P ich realizacji (bardziej poprawnie byłoby oznaczyć to pr-stwo P innym symbolem, np. P_(JCV))- Przyjmujemy