matma0063

.....ł :ZKO WY

ZMIENNEJ

^SC¹1 0 DNA

zcia : e Wykorzystamy obecnie tę| p,--^ jakim jest różniczko wal-

iiwii/ośac h punkcie

Siairr«."i

Ss

: ' '

| ~iur;,iLr. f w punkcie *_n.

miT^T: pankcie przedziału (a, b) , tol EKEifciaie Dla oznaczenia pochodne

im

dz

■ a gdy funkcja określona

limb y ' = f (x)

?.ę zazwyczaj przez Ax, a od =: i gdzie Ay =f(x + Ax) -f(x). mra ziz sać w postaci:

: '. : - Ax) -f(x) Ax

MllUf^|yiad II. 1.1

₂

Bttczmy z definicji pochodną funkcji /(x) = x w dowolnym punkcie x₀ e R.

Ł . _lim /fc) + ^A) 'JM ₌ jjjH fe^+Af-^0 ₌ Xo+2x₀h + h²-x‘

a-o    h

2x_nh + h²

A-0

A-0

= lim (2x_q + h) = 2x₀. h    h-o

■Mi jgicznie do definicji pochodnej funkcji / w punkcie x_Q określa się pochodne

f(x_Q + h) ~f(x₀)

3nne funkcji w punkcie jc₀ . Liczbę f+(x₀) = lim ----—- nazywamy

a-o⁺    h

/ \    /(*b ⁺ h) ~f(^xo)

prawostronną funkcji / w punkcie x_Q , a liczbę /_' (jc₀) = lim —

A-0~

■■wir

h

'i amy pochodną lewostronną funkcji / w punkcie jc₀ .

istnieje pochodna f(x₀), to na podstawie twierdzenia 1.3.3 istnieją obie jednostronne, dla których spełniony jest warunek f+(^xo) = fl (^x0) = Na odwrót, jeśli istnieją pochodne jednostronne f+(x_Q), f_'(x₀) i są równe /-W)’ ^t0 istnieje również pochodna f^,(x₀) = f+(x₀) = /_'(x₀). Jeśli zaś J ⁼ f-(^xo) tab ^co najmniej jedna z pochodnych jednostronnych nie istnieje, to ■Leje f'(x₀).

/_'(0) = lim

A-0‘

mraz

n.i.2

czmy pochodne jednostronne funkcji f(x)

\x | w punkcie x₀ = 0 .

A-0^ł

h

= lim	1*1	-	|o| _	lim
A-0^+		h		A-0^ł	h
= lim	\h\	-	|0| _	lim	= -i
A-O'		h		A-O'	h
a f(x)	= |	JC |	nie	ma	pochodnej