Matma lista 1 algebra

Lista 1

Zadanie 1 Wykonać działania

(2 + 3/X— ~ 7/) (V2+V7/)(V2-V7/) A , _2;-y ³ + 2i ,    1

1-/    '    •    (1 + /)³    l) ' \-i    \ + i'

Zadanie 2 Rozwiązać układ równań

(l + i)x + (2 - i)y = 2-2/

^v\(l-/)x-(3 + /)y = -3 + 3/'

Zadanie 3 Obliczyć iⁿ dla n naturalnych.

Zadanie 4 Korzystając z wzorów de Moivre'a obliczyć

(l + /)'v(l + /V3)⁶.

Zadanie 5 Rozwiązać równania

. c² + 2r + 5 = 0, ~^J + r² +1 = 0 ,*z² -Sz + l + i = 0, r⁴ - 3r² + 4 = 0. Zadanie 6 Liczba -/ = -1 - 2/ jest jednym z pierwiastków wielomianu:

W{ r) = z⁴ + 2r³ + 9r² + 8r + 20 Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 7 Rozwiązać równanie -rr + 3[z + z )= 7.

Zadanie 8 Rozwiązać równanie e^: = 1 + ij3 .

Zadanie 9 Wyznaczyć pierwiastki kwadratowe z liczb'2 + 7/, 1 - ij3 .

Zadanie 10 Obliczyć pierwiastki*V/. - v'T ,/V- 2 + 2/ .

Zadanie 11 Rozwiązać równanie r⁶ = (l + /)^l_.

Zadanie 12 Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej następujące zbiory:

(r € C : Re r Im : = l}.(:eC: (Re r)^: + (im zf > l}, {r e C : z⁴ = ty ,|-³j > 9|r|}.

Zadanie 13 Wyrazić sin3a i cos3a przez sina i cosa posługując się wzorem Moivre‘a. Zadanie 14 Obliczyć sumę sin.r + sin2.r +... + sin nx.

■ - ■■■ ■■ i    ■ — ■    ^    w

Zadanie 15 Dane są liczby zespolone r, i Jaki zbiór tworzą wszystkie punkty postaci :.t + r, (1 -/). te [O.l]? Jak zmieni się odpowiedz gdy t e R?

Zadanie 16 Dana jest liczba zespolona z₀ i liczba rzeczywista dodatnia r. Jaki zbiór tworzą

wszystkie punkty postaci r₀ + re“. t e [O./t]? Jak zmieni się odpowiedz gdy t e R‘l Zadanie 17 Udowodnić równość

Ol- ₊ Oi- ^! =

-Hi⁺ —1-2;

r, +

r _ O i- -    4- U    -i-0 /- ?

^ r i ■ —v -1-2

4- t I ₌ -    4-

-11    — 1 i —

Zadanie 18 Dla jakich liczb zespolonych r, i r, zachodzi równość