matma grupa A

Kolokwium zaliczeniowe, semestr zimowy 2012/2013 Zestaw A

Zadanie 1

a. ) (2,5 punkta) Znaleźć zbiory, w którym równanie (l -x²\_xx-2xyu_xy -(l + y²\yy -2xu_x -2yu_y =0

jest typu hiperbolicznego, parabolicznego, eliptycznego. Sporządzić rysunek ilustrujący rozwiązanie.

b. ) (2,5 punkta) Rozwiązać następujące zagadnienie brzegowe:

u_xy (x, y) = 4 xy, w (O, .y) = y,    u(x, 0) = x².

Zadanie 2 (5 punktów)

Poniższe równanie sprowadzić do postaci kanonicznej:

^u**+3u_xy-4u_yy+u_x+4u_y=0

Zadanie 3 (5 punktów)

Rozwiązaniem ogólnym pewnego równania różniczkowego cząstkowego jest funkcja

u(x,y)=fQlx+3y)+g(x-y) , gdzie f,geĆ.

Znaleźć całkę szczególną tego równania spełniającą warunki:

z^(x.O) = 3x , w_v(x,0) = 2x +1.

Zadanie 4 (5 punktów)

Udowodnić jedną z poniższych nierówności (wybrać dowolnie ty lko jedną z nich)

1) Niech    R będzie przedziałem domkniętym. Rozważmy zbiór funkcji całkowalnych z

/:[<?./>]-> R : ji/(.v);² dx istnieje

kwadratem na odcinku, czyli _(b^.₌

Niech f,g e L²([o,ó]). Udowodnić następującą nierówność Schwarza

2) Niech (.v,,...,x_(!) oraz    będą dwoma elementami przestrzeni R".

Udowodnić następującą nierówność zwaną nierównością Cauchy^ego:

iv.T4ś^](ś«

-i J W=1 ) \i- = \

Zadanie 5 (5 punktów)

Wykazać, że następująca funkcja jest metryką na zbiorze R^: p: R² x R² -> [0,+oo),    /?((x₁,y₁Hx₂,y,))=|x, -x,| + |y₂-y\

Narysować na płaszczyźnie kulę o promieniu 2, tj. zbiór: {(x,y):p((x,y\(0,0))<2}

Zadanie 6 (5 punktów)

Niech W[-2, 1] będzie przestrzenią wielomianów określonych w przedziale [-2, 1]. Wyznaczyć odległość między wielomianami w,, w₂ e W;    (x) = -2x² + 5x -1; w₂(x) = 5x - 3; stosując

do wyznaczenia tej odległości metrykę generowaną przez następującą normę: a) luf = max | w(x) |