egzamin B

Egzamin, termin I, semestr zimowy 2012/2013 Zestaw B

Zadanie 1

a. ) (2,5 punkta) Znaleźć zbiory, w którym równanie yU„+yUyy=0

jest typu hiperbolicznego, parabolicznego, eliptycznego. Sporządzić rysunek ilustrujący rozwiązanie.

b. ) (2,5 punkta) Rozwiązać następujące zagadnienie brzegowe:

u (x,y) = 2xcosy,    u(0,y) = 1 4-siny.    u(x,0) = e^v.

Zadanie 2 (5 punktów)

Poniższe równanie proszę sprowadzić do postaci kanonicznej:

2u + 4u —6 u -2u +2u =0

xx xy yy * y

Zadanie 3 (5 punktów)

Równanie u ,_n = 0, jest postacią kanoniczną pewnego równania różniczkowego

cząstkowego, przy czym £ = —x + 3y , rj = —2x + 5y . Znaleźć całkę ogólną u(x, y) , a następnie rozwiązanie szczególne tego równania spełniające warunki: u(0,y) = 7y-l , u_x(0,y) = 2y-3.

Zadanie 4 (5 punktów)

Podać definicję metryki. Uzasadnić, że następująca funkcja p(A,B) (określona dla

dowolnych dwóch punktów A , B e /?') jest metryką w przestrzeni liniowej R~.

\d{A,B)    , gdy punkty A. B i O = (0,0) lezą na jednej prostej

[c/(zł. O) + d(0, B)    , w przeciwnym wypadku

ysować na płaszczyźnie kulę o promieniu 7 i środku w punkcie s = (3;4), tzn. zbiór

\x,y)e R² : p((x,y); (3;4)) < 7}.

Zadanie 5 (5 punktów)

Niech C [-3. 2] będzie przestrzenią funkcji ciągłych określonych w przedziale [-3. 2]. Wyznaczyć odległość między wielomianami f i ge C[- 3,2] , f(x) = x² - |x + 1|; g(x) = x^J - x -2 stosując do wyznaczenia tej odległości metrykę generowaną przez następującą normę:

c)    ||/|| = max \f(x)\

-3SatS2

^d)    |/t = J JPwf*

Zadanie 6 (5 punktów)

Sformułować twierdzenie o rzucie ortogonalnym dl przestrzeni Hilberta H.

Niech H = L²([0,ł]). Korzystając z twierdzenia o rzucie ortogonalnym oraz z faktu, że funkcje g,(x) = 1 oraz g-,(x) = x są liniowo niezależne, znaleźć najlepszą aproksymację funkcji f(x) = cos a* funkcją g₀(A') = ax + b w tej przestrzeni, tzn. taką dla której norma błędu jest minimalna.