mech2 10

możemy wyznaczyć współczynniki Lamego ze wzoru

w którym

O)

_£LS _ ^2 _{= B}in 0 c oa cp ,

Oq_/, 3r

_ ŹZ _ _si_n g _ai_n cp _f

<3r

dz Ć)z „„„a dq^    3r

-^2 _ &Ł ₌ r cos 0o os q>,

(4)

dq₂ 3 0

= ^ = r cos0 sin cp., 3q₂ de

li = ^ = - r ain 0 ,

3q₂    0 9

-lii *    = - r ain 9 ain cp,

3<P

= r sin 9 oos o ,

0q₅    0<p

j2Lz _ _5. ₌ o .

0q₅    ^'p

Po podstawieniu odpowiednioh zależności z ^4) do (3) ostatecznie 0-trzymujeny:    s 1, H₂ = H_g = r,    = H_ffi = r sin 0 .

1.4. Wyznaczanie prędkości i przyspieszenia punktu w krzywoliniowych układach współrzędnych

Zadanie K-4.

Dla zndnnego układu współrzędnych krzywoliniowych znaleźć rzuty pręd-liośn 1 t |>i*w../«i»I wwzMiił m nu te onln.

Rzuty prędkości i przyspieszenia na osie współrzędnych krzywolinlo-^ch określają zależności:

= H, ^qi ^1	*i	Ci = 1	,2,3) ,	CD
a = <łi ^Hą,	( d	aT	5T \ aq± )'	C2)

w których    są współczynnikami Lamego, zaś

<3)

T = J V² = 1 (H²^² + H|^| + H²^²)    .

uu jmihmimii........ -^MBsałSłSBWSsaffisa^i

Rozwiązywać⁰ zadań z kinematyki punktu we współrzędnych krzywoliniowych zaleca się przeprowadzać w następującej kolejności:

a) dla zadanego układu współrzędnych krzywoliniowych określić współczynniki Lamegoj

h) ustalić, ozy układ współrzędnyoh krzywoliniowych jest ortogonalnym

o) wyznaczyć rzuty prędkości i przyspieszenia na osie.

Przykład rozwiązania zadania

Wyrazić w kartezjańskim układzie współrzędnych warunki, przy których układ współrzędnych krzywoliniowych będzie ortogonalny. Sprawdzić orto-gonalność sferycznego układu współrzędnych oraz określić rzuty prędkości i przyspieszenia na osie współrzędnych sferycznych.

Rozwiązanie

1, Ogólny przypadek.

Niech położenie punktu M w przestrzeni określone będzie w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych przez x,y,z,w krzywoliniowym zaś układzie współrzędnych współrzędnymi q^,q2iWektor - promień punktu M, poprowadzony z początku kartezjańskiego układu współrzędnych jest równy r = ri + yj + zk.

liniowej q^. Oznaczająo wówczas współrzędne osi ^q^j , |q₀j, fq^l k„, k₀. k, i uwzględniając, że mają one kierunek stycznej dc

Linia współrzędnych układu krzywoliniowego jest hodografem promienia wektora r = r(q^    przy zmianie tylko jednej współrzędnej krzywo

ortami

^Ł1' ^Ł2^ł ^3    ^ ^uwzelęóniając, że mają one kierunek stycznej do linii

współrzędnych (w stronę wzrostu współrzędnej), można napisać

dx/dq_t

^ki =

CD

<3r/&ł.

Równość

etyczny

ta wskazuje, że oba wektory di/Oą^ do hodografu promienia - wektora w

i k^ oają kierunek stronę 'zwiększania wnpół