mech2 178

354

Szukane przyspieszenie kątowe pręta OC

354

Zadanie 5 (rys* 266}

Układ złożony z trzech prętów jednorodnych OA, AB, BC o równej długości i i równej masie m., porusza się pod wpływem eił ciężkości w płaszczyźnie pionowej. Pręty 8ą połączone między sobą przegubami w A 1 B, zamocowane zaś przegubowo w 0 i C, przy czym 0 i 0 leżą na jednej prostej poziomej oraz OC = 1. Znaleźć przyspieszenie kątowe prętów OA 1 CB Jako funkcje kąta <p .

Odp. qp = - -f--f~ sin tp .

Rys. 266

Rys. 267

Zadanie 6

. PrcjBta 1 leży w płaszczyźnie pionowej xz i obraca się wokół początku układu współrzędnych 0 ze stałą prędkością kątową U) , przy czym jej odległość od punktu 0 jest stale równa p. Wzdłuż prostej 1 może przesuwać się bez tarcia punkt materialny A o masie m. Wyznaczyć ruch punktu A po pros-tej 1, jeżeli w chwili początkowej prosta 1 ma kierunek równoległy do osi z, położenie zaś punktu A w tej chwili jeet określone przez długość odcinka 0'A = b (0' jest rzutem punktu 0 na prostą 1) i prędkość punktu A dla t = 0 jest równa zeru.

Rozwiązanie (rys. 261)

Układ ma 1 stopieri swobody.

Oznaczamy przez u współrzędną punktu A na osi 1 (^przyjmując za początek punkt 0' tej osi").

Wykorzystamy równanie lagrange'a:

Jsnerg^a kinetyczna punktu wynosi

Równania więzów aą następujące:

i = p    cos    wt — u sin. u)t,

z/ = p    sin    u)t + u cos uit,

stąd.

i =    -p    u sin tu    t —    ii sin uit — u a)cos    ait,

£ =    p    u cos u:    t +    ii cos u>t - u uj^in    <o t. • '

Po podstawieniu i przekształceniach otrzymamy:

.1 r    2    2 2]

•    E = m |(p io+ u) + u u j,

34 = n CP ^{w + u}) *

GE    2

—• = m u w -a u.

Wyznaczamy Biłę uogólnioną, odpowiadającą współrzędnej u. Praca przygotowana sił działających, nia punkt

6 A = —mg 6z.

Przyrost 6 z wyznaczamy z równania więzów

z = p sin cot + u cos tut,

6 z = 6u cos oj t.

Siła uogólniona

_    " a A    ,

= — = -mgcos uj t.

Po podstawieniach równanie Lagrange'a przyjmie postać

_d_

dt

J^m Qp oj+ ii)j - nui = -mg cos ujt,

stąi

li — w u = -gcoaojt.

Należy rozwiązać to równanie różniczkowe. CeLłka szczególna ma postać:

u - -c*-

V ₀ 2

2ui

cos w t.

.. 2

A całka ogólna równania jednorodnego u - <u u = 0

_ tut „    —ujt

u,, = e + G₀ e 11 2