obraz4 4

jeżeli /jest polem gęstości masy rozmieszczonej na powierzchni S, to całka (2) jest masą całkowitą m_e powierzchni S, czyli

| (5)    ^mc = fjf(x ,y,z)dS.

19.2. Całka powierzchniowa zorientowana. Niech dana będzie powierzchnia dwustronna regularna S określona wzorem (1), na której określona jest strona dodatnia przez wektor normalny n=r„xr_u tworzący z osiami współrzędnych odpowiednio kąty ot, fł\ y i niech na powierzchni tej określone będzie ciągłe pole wektorowe W(P(x, y, z),Q(x,y,z),

R(x,y,z)). Powierzchnię S podzielmy na n części ,Sj.....S_n_o polach |S_Ł|, |S₂j,...

....|S„| i w każdej z nich weźmy po jednym dowolnym punkcie M_t(x_t, y_t, z,).Przy tych założeniach istnieje granica sum

I    £ [P(x_i,j;_f,z_J)cosa_i +

i=i    i-i

+Q (*t > yt >~żi) cos P_t+R (x, , y,,z_t) cos Vj] \S_t\, gdy średnice wszystkich części S_t dążą do zera, niezależna od sposobu podziału powierzchni S na części i od wyboru punktów M_t. Granicę tę nazywamy całką powierzchniową zorientowaną i oznaczamy

(6)    JJ(Pcosa + Qcos/ł+.Rcosy)<2S

s

(7)    Jj Pdy dz + Q dx dz + R dx dy. s

Całkę tę możemy obliczyć całkując.kolejno: całkę Jj* P dy dz po obszarze będącym rzutem

s

powierzchni S na płaszczyźnie Oyz, całkę \\Qdxdz po obszarze będącym rzutem powierz-

s

chni S na płaszczyźnie Oxz oraz całkę JJ R dx dy po obszarze będącym rzutem powierzchni

s

S na płaszczyźnie Oxy, przy czym przed każdą z całek bierzemy znak + lub — zależnie od tego, czy odpowiednio cos a, cos /?, cos y jest dodatni czy ujemny. Na przykład, jeżeli powierzchnia S ma równanie: z—g(x,y), (x,y)eD i S⁺ oznacza górną stronę powierzchni (cos y>0), to

(8)    J{P(x,y,z)dx = J{P(x,y ,g(x,y))dxdy.

S +    D

Dla powierzchni S~ całkę po prawej stronie, należy wziąć ze znakiem minus. W przypadku ogólnym korzystamy ze wzoru

f)

gdzie

| Pdydz+Qdxdz+Rdxdy — J*J j~P (x (u ,v),y (u ,v), z (u, *0)p^    +

S    4

tQ(x(u, v), y (u, v), z (u, t>»    +^R (x (u, v), y (u, v), z (u, v))    j du dv,

D(y,z)	yu zJ	D (z > x)	§§ p	D(x,y)_	xu yu
0(u,v)	y* zv\	D (u ,y)	zv xv	’ D(u,v)	xv y9