Obraz0 3

142

_Pl2 = P(X=0,y = l) = i = _P,p₂=|.|=7^itd-

o    6 6    6

Zauważmy, że gdyby dla którejkolwiek pary (x_h y_k) wartość funkcji prawdopodobieństwa spełniała warunek p_ik * pip._k, wówczas zmienne nie byłyby niezależne.

Sprawdźmy także, czy E(XY) = E(X)E(Y).

"31    ^m    24

E(X) = m_l0 = 5>,p, = 7=7-    £QO = m_0] = ]>>*/?.* =- + - = 1,

i=i    6 2    6 6

£(X,K) = m_n=y;2:w_lł=7+4 = 4 = ^.

£(X)£(K) = 2.i = |,    E(Xy) = 2,    E(.XY) = E(X)E(Y).

Przykład 4.12

Dana jest funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej

(X,łO:

1    2    3

2    0,3    0,1    0,1

4    0,1    04    0,3

Określ współzależność między składowymi zmiennej losowej (X, Y), wykorzystując współczynnik korelacji. Obliczenia pomocnicze zawiera tabela 4.5.

Tabela 4.5

Obliczenia pomocnicze

X<	i	2	3	Pi.	*iPi.	x,^2	x^2Pi.
2	0,3	0,1	0,1	0,5	1,0	4	2,0
4	0,1	0,1	0,3	0,5	2,0	16	8,0
P.i	0,4	0,2	0,4	1,0	3,0	X	10,0
y.kP.k	0,4	0,4	1,2	2,0
yk^2	1	4	9	X
ykP.k	0,4	0,8	3,6	4,8

Źródło: opracowanie własne.

mio= E(X) = 3, m₀i = E(Y) = 2,    £(X²) = 10, mo₂ = £(F²) = 4,8,

n m

£(X,F) = m_n = ^_j^_jx_iy_k =0,6 + 0,4 + 0,6 + 0,4 + 0,8 + 3,6 = 6,4,

!=1 fc=l

M₂₀ = D\X) = m₂₀ - (m₁₀)² = 10 - 3² = 1, M₀₂= D²(y) = mo2-(moi)²= 4,8-2²= 0,8, Mn = mu -mio»ioi = 6,4-3 • 2 = 0,4.

M =

1    0,4

0,4 0,8

P =

M,

0,4

20^02    a/1⁷^

0,45.

Wyznacz rozkłady warunkowe zmiennej y.

*=1, 2,3.

P(y ₌ ,_i|X=,_i) = M^I^i2₌PŁ

¹    *>(*=*,)    p.

Tabela I <•

Warunkowe funkcje prawdopodobieństwa

yk	P(Y = yk |X = 2)	P(Y = yk |X = 4)
i	0,3:0,5 = -5	0,1:0,5 = -5
2	0,1:0,5 =-5	0,1:0,5 = - 5
3	0,1:0,5 = -5	0,3:0,5= - 5
Suma	1,0	1,0

Źródło: opracowanie własne.

Wartości oczekiwane dla rozkładów warunkowych są odpowiednio równe

E(Y\X =2)=- + —+ - = - = 1,6,

¹    5 5 5 5

E(Y\X =4) = — + — + — = — = 2,4.

¹    5 5 5    5

Regresja I rodzaju zmiennej Y względem X jest zbiorem dwóch pnnl h. {(2; 1,6), (4; 2,4)}.