Obraz8 3

178

(V) Ponieważ

u

emp

100,7 -100 3

•3 = 0,7 gZ_t,

więc stwierdzamy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o tym, że średnia waga produkowanych tabliczek czekolady jest równa 100 g.

Weryfikacja hipotezy o wartości średniej, gdy nie jest znana wariancja

Na wstępie formułujemy hipotezę zerową i hipotezę alternatywną, co zapiszemy następująco:

(I)    H₀: m = w₀,

H\.m ź m₀.

(II)    Wybieramy odpowiedni poziom istotności a.

(III)    Jeśli próba jest dostatecznie liczna (n > 30) w charakterze sprawdzianu hipotezy wybieramy statystykę:

(6.13)

s

(IV) Gdy prawdziwa jest hipoteza zerowa, wówczas rozkład statystyki (6.13) mało różni się od rozkładu zmiennej losowej standaryzowanej N(0, 1), wówczas przy tak sformułowanej hipotezie alternatywnej i przyjętym poziomie istotności obszar krytyczny zapiszemy w postaci:

(6.14)

y    Z_k = (-oo, -U_a) U <K_a, <~),

a

gdzie u_a spełnia równość: 0(«_a ) = !-—.

(Dla) Jeśli liczebność próby nie przekracza 30, wówczas w charakterze sprawdzianu wybieramy zmienną losową definiowaną wzorem:

(6.15)

Zmienna losowa (6.15) podlega rozkładowi r-Studenta o (n-1) stopniach swobody, przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀.

p(|ri > t_a) = a,

(IVa) Uwzględniając przyjęty poziom istotności oraz wyżej sformułowaną hipotezę alternatywną H_x przy budowie obszaru krytycznego korzystamy z relacji:

otrzymujemy:

Zk = (-«>, ~ta, n-1> U <*o. n-U °°)-    (6-16)

Gdy hipoteza alternatywna ma postać H\. m > mo, wówczas prawostronny zbiór krytyczny:

-    dla dużej próby ma postać:

Zk - (u_a, °o) (w tym wypadku u_a > 0),

-    dla małej próby:

Z_k = {t_a,_n-\, <») (w tym wypadku /„ > 0).

Gdy zaś hipoteza alternatywna ma postać H\\ m < 0, wówczas lewostronny zbiór krytyczny:

-    dla dużej próby ma postać:

Z_k = (-oo, u_a) (w tym wypadku u_a < 0),

-    dla małej próby:

Z_k ~ (-<», —ta, n-1) •

Przykład 6.2

Załóżmy, że strukturę zbiorowości kuracjuszy pod względem wieku, przebywających na leczeniu w sanatoriach województwa małopolskiego w lipcu 2000 r., opisuje rozkład normalny. Wysunięto przypuszczenie, że średni wiek populacji kuracjuszy wynosi 41 lat. Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować powyższą hipotezę, gdy do zbiorowości próbnej wylosowano 100 kuracjuszy.

Dla czytelności rozważań zapiszemy formalnie układ hipotez:

H₀:m = 41 lat,

H_x:m* 41 lat.

Ponieważ odchylenie standardowe populacji a nie jest znane, ale próba jest liczna, więc do weryfikacji hipotezy zerowej wykorzystamy statystykę (6.13). Następnie przyjmując zadany poziom istotności oraz uwzględniając hipotezę alternatywną, budujemy zbiór krytyczny, wychodząc z relacji:

<D(«_a) = 0,975,

a stad u_a = 1,96.