Otwarte 15 Trygonometria

Zestaw XIV Zadania otwarte

Zestaw XIV

(Trygonometria)

Zadanie 1. Oblicz wartość wyrażenia (sina — cos a)(sin /? — cos/?) wiedząc, że sin(a + (3) = 0,8 oraz cos(a — /?) = 0,3.

Zadanie 2. Wyznacz zbiór rozwiązań:

a)    równania sin 2x — sin x = 0,

b)    nierówności sin2x > sina;, w przedziale (0,2n).

Zadanie 3. Rozwiąż równanie

*_g (*+!)=* (i-*)

w przedziale    7^ ■

Zadanie 4. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji

f{x) = cos² x — sin x.

Zadanie 5. Rozwiąż nierówność dla x E (—7T, 7t):

| cos x\ ^cos x — cos ^ > 0.

Zadanie 6. Oblicz cos2a wiedząc, że tg a = 4.

Zadanie 7. Rozwiąż równanie

tg 110° • tg 200° - 2 cos 2x = 0.

Zadanie 8. Oblicz wartość wyrażenia

sin a + sin 2a + sin 3a 2 cos a +1

^dla“=ś-

Zadanie 9. Ile liczb x E (0,2n) spełnia równanie sin2010x = cos 1005x?

Zadanie 10. Udowodnij tożsamość

cos 2a _ 1 — tg a 1 + sin 2a 1 + tg a

Zadanie 11. Uzasadnij, że sin 10° cos20° cos40° = i.

8

Zestaw XV

(Trygonometria)

Zadanie 1. Jakie wartości może przyjmować sin aj, jeśli

sin (* + !)=-i?

Zadanie 2. Wyznacz zbiór wartości funkcji /(aj) — 2 cos² x — cos aj.

Zadanie 3. Dla pewnego kąta ostrego x wiemy, że tg aj = 3. Oblicz sin4aj.

Zadanie 4. Wyznacz zbiór rozwiązań:

a)    równania cos 2a: — cos x = 0,

b)    nierówności cos 2x < cos aj, w przedziale (0,27r)?

Zadanie 5. Rozwiąż równanie

sin² x + VŚ cos² x = (V3 + l) sin x cos aj.

Zadanie 6. Wyznacz najmniejsze dodatnie rozwiązanie (w stopniach) równania cos 5° cos x + cos 95° sin aj = cos 35°.

4

Zadanie 7. Niech aj, y będą kątami ostrymi. Wiedząc, że sin aj + sin y = - oraz

₊    2V5    . .. .

cos aj 4- cos y = uzasadmj, ze aj = y.

O

Zadanie 8. Wykonaj wykres funkcji:

f(x) = sinx • | sinaj| + cos a; • | cosa:|

dla x € (0,27t).

w naj-

Zadanie 9. Niech 0 < a < n. Wyrażenie \ — + —\ - + - cos o: zapisz

V L Z y Z Z

prostszej postaci.

Zadanie 10. Wiedząc, że tg a = —2, oblicz wartość wyrażenia:

sin³ a — 3 cos³ a 5 sin a — cos a 1    V^3

Zadanie 11. Udowodnij równość---= 4.

sm 10° cos 10°